Géométrie - exercitation 7, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercitation de géométrie 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Etudier le repère orthonormé, Préciser la nature de f et ses éléments remarquables.
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[ Baccalauréat C Grenoble juin 1981\

EXERCICE 1 3 POINTS

1. Montrer qu’un entier naturel n est divisible par 42 (42 est écrit dans le système décimal) si, et seulement si, n est divisible par 6 et par 7.

2. Soit n un entier naturel écrit 3a4b en base huit.

Écrire en base huit tous les entiers, n, qui sont divisibles par 42.

Montrer que ce sont des termes consécutifs d’une suite arithmétique dont on donnera la raison écrite en base huit.

EXERCICE 2 3 POINTS

Soit P unplan affine euclidienmuni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

. À tout point

M de coordonnées (x ; y) on associe le nombre complexe z = x+ iy affixe deM . On désigne par z le nombre conjugué de z.

1. Soit f l’application de P dans P qui au point M d’affixe z associe le point M

d’affixe

z ′ = (

1− i p 3 )

z−2i.

Préciser la nature de f et ses éléments remarquables.

2. Soit g la symétrie affine orthogonale de P par rapport à la droite ∆ d’équation y = x

p 3−1.

On noteM ′′ = g (M). Calculer les coordonnées (x′′ ; y ′′) deM ′′ en fonction des coordonnées (x ; y) deM .

3. Préciser la nature de la transformation g f et ses éléments remarquables.

PROBLÈME 14 POINTS

Soit F l’ensemble des fonctions numériques d’une variable réelle trois fois déri- vables sur R. On rappelle que F muni de l’addition des fonctions et de leur multi- plication par un nombre réel est un espace vectoriel réel.

Partie A

Soit E = { f ∈F : f ′′′−6 f ′′+12 f ′−8 f = θ} où θ est l’application nulle de R dans R ; f ′, f ′′, f ′′′ sont les dérivées première, seconde et troisième de f .

1. Montrer que E muni de l’addition des fonctions et de leur multiplication par un nombre réel est un espace vectoriel réel.

2. Vérifier que la fonction f0 : x 7−→ e2x appartient à E et montrer qu’une condi- tion nécessaire et suffisante pour que f appartienne à E est que la fonction g : x 7−→ e−2x f (x) soit trois fois dérivables sur R et vérifie g ′′′ = θ. En déduire la forme générale des fonctions g puis la forme générale des élé- ments de E .

Partie B

À tout triplet (a,b,c) ∈R3 on associe la fonction numérique

fa,b,c : x 7−→ e2x (

a+bx+cx2 )

.

Soit E l’ensemble de toutes ces fonctions.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de F et qu’il admet pour base (

f0, f1, f2 )

f0 : x 7−→ e2x , f0 : x 7−→ xe2x , f0 : x 7−→ x2e2x

Donner les coordonnées de fa,b,c dans cette base.

2. Montrer que la dérivée première, f a,b,c de fa,b,c appartient à E et donner ses

coordonnées dans la base (

f0, f1, f2 )

.

Soit D l’application de E dans E qui à f associe f ′. Montrer que D est un en- domorphisme bijectif de E et déterminer l’application réciproqueD−1. En dé- duire la primitive de fa,b,c qui appartient à E.

3. Retrouver l’expression générale des primitives de fa,b, c en calculant tout d’abord ∫x

0 fa,b,c (t)dt par des intégrations par parties successives.

4. On pose D1 =D et pour tout n ∈N⋆, Dn+1 =D Dn . Vérifier que l’on a

n ∈N⋆ 

Dn (

f0 )

= 2n f0 Dn

(

f1 )

= n2n−1 f0+2n f1 Dn

(

f2 )

= n(n−1)2n−2 f0+n2n f1+2n f2

Montrer que,∀n ∈N⋆,∀(a,b,c) ∈R3, fa,b,c admet unedérivée d’ordren, f (n)a,b,c .

Utiliser ce qui précède pour calculer f (n) a,b,c

Partie C

Soit h la fonction numérique définie par

h(x)= e2x (

2x2−2x−1 )

.

1. Étudier la fonction h et tracer sa courbe représentative dans un plan P rap- porté à un repère orthonormé. (On donne e2 ≈ 7,389 et e−2 ≈ 0,135).

2. Soit D l’ensemble des points M de P dont les coordonnées (x ; y) vérifient f (x)6 y 6 0. Calculer l’aire A de D.

Grenoble 2 juin 1981

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