Géométrie - exercitation 8, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercitation de géométrie 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la similitude indirecte, l’ensemble des applications f continues.
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[ Baccalauréat C Lille juin 1981 \

EXERCICE 1 3 POINTS

1. Décomposer 319 en produit de facteurs premiers.

2. Démontrer que si x et y sont deux entiers naturels premiers entre eux, il en est de même pour 3x+5y et x+2y .

3. Résoudre dansN⋆ le système

{

(3a+5b)(a+2b) = 1276 ab = 2m

m désigne le plus petit multiple commun de a et b.

EXERCICE 2 4 POINTS

Un plan affine euclidien orienté (P) est rapporté à un repère orthonormé direct (

O ; −→ e1 ,

−→ e2

)

. Le point M de coordonnées (x ; y) a pour affixe le nombre complexe

z = x+ iy . On considère dans le plan (P) le triangle équilatéral OAB où B a pour affixe 1 et A a une ordonnée positive.

1. Soit D lemilieu de AB et E lemilieu de OB. Déterminer les affixes des points A,

D et E. Placer sur une figure les points O, A, B, D, E dans le repère (

O ; −→ e1 ,

−→ e2

)

.

2. Combien y a-t-il d’applications affines du plan (P) transformant l’ensemble {O, A, B} en l’ensemble {E, D, B} ?

3. On considère l’application affine g caractérisée par

g (A)=D, g (O)= B et g (B)= E.

Montrer que g est une similitude indirecte dont on donnera les éléments ca- ractéristiques et la forme réduite (ou décomposition canonique).

(M étant un point d’affixe z, on pourra exprimer l’affixe z ′ de son image M ′, en fonction de z).

PROBLÈME 13 POINTS

Partie A

On appelle F l’ensemble des applications f continues de R dans R vérifiant

(1)

{

f (x+ y) f (xy) = ( f (x) f (y))2 ∀(x, ; y) ∈R2

f (0) > 0

1. Vérifier que la fonction x 7−→ 2−x 2 appartient à F.

2. Écrire ce que devient la relation (1) dans chacun des cas suivants :

x = 0, y = 0, x = y.

Quelles sont les valeurs possibles de f (0) ?

3. Montrer que f (0) = 0 si, et seulement si f est l’application identiquement nulle notée 0̃.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

4. On suppose que f s’annule pour une valeur a 6= 0.

a. On considère la suite (Un)n∈N définie par

n ∈N, Un = a

2n .

Montrer que la suite (Un)n∈N est convergente et déterminer sa limite.

b. Montrer par récurrence sur l’entier n que pour tout n ∈N, f (Un)= 0 (uti- liser la question 2).

En déduire alors que f (0)= 0.

5. On suppose f 6= 0̃. Calculer f (0).

Montrer que f ne s’annule jamais et que, pour tout x réel, f (x) > 0. Montrer que f est une fonction paire.

Partie B

SoitG l’ensemble des fonctions g de R dans R définies par

f ∈ F− {0̃}, ∀x ∈R, g (x)= log[ f (x)].

1. Montrer à l’aide de la relation (1) vérifiée par f , que tout élément g deG vérifie la relation

(2) ∀(x ; y) ∈R2, g (x+ y)+ g (xy)= 2[g (x)+ g (y)].

2. Déterminer g (0) et montrer que g est une fonction paire.

3. Montrer à l’aide de la relation (2) que

(3) ∀n ∈N, ∀x ∈R, g (nx)=n2g (x).

Montrer que la relation (3) reste vérifiée pour tout x ∈R et tout n ∈Z.

4. Montrer que

r ∈Q, ∀x ∈R, g (r x)= r 2g (x).

(on pourra poser r = p

q p ∈Z et q ∈N⋆).

On pose g (1) = λ. En déduire que ∀r ∈ Q, g (r ) = λr 2. En déduire f (r ) pour tout r ∈Q.

Partie C

On admet dans toute la suite que les fonctions de F distinctes de 0̃ sont les fonctions de la forme , où λ est un paramètre réel quelconque, définies par

x ∈R2, (x)= e λx2 .

On note Cλ la courbe représentative de dans un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Étudier les variations de suivant les valeurs de λ. Pour quelles valeurs de λ la courbe Cλ a-t-elle une asymptote ?

2. Montrer que si λ > 0, il existe sur Cλ deux points et en lesquels la tan- gente passe par l’origine.

Exprimer les coordonnées de et en fonction de λ > 0. Quel est l’en- semble formé par les points et lorsque λ varie ?

Lille 2 juin 1981

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