Géométrie - exercitation 9, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercitation de géométrie 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’élément neutre de l’inverse de M, la fonction logarithmique népérien.
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[ Baccalauréat C septembre 1981 Lille \

EXERCICE 1

1. Déterminer dansN, l’ensemble des diviseurs de 30.

2. Trouver les couples (x ; y) d’entiers naturels non nuls dont le plus grand com- mun diviseur ∆ et le plus petit commun multiple M vérifient

3M −2∆= 30.

EXERCICE 2

Soit P un plan euclidien rapporté au repère orthonormé (

O ; −→ e1 ,

−→ e2

)

. On rappelle

qu’à tout point M du plan de coordonnées (x ; y) on peut associer le nombre com- plexe z = x+ iy appelé affixe du point M . Soit A, B, C, D, quatre points du plan d’affixes respectives z1, z2, z3, z4.

1. Montrer que le quadrilatère (A, B, C, D) est un carré si, et seulement si, les nombres complexes z1, z2, z3, z4 vérifient les relations

{

z2− z1 = z3− z4 z3− z1 = ±i (z4− z2) .

2. Montrer qu’alors l’affixe z0 du point I intersection de AC et BD vérifie

(z1− z0)4 = (z2− z0)4 = (z3− z0)4 = (z4− z0)4 .

3. Construire le carré dans le cas où z0 = 1+ i et z1+ z2 = 0. Déterminer les affixes z1, z2, z3, z4 dans ce cas.

PROBLÈME

Dans tout le problème, E désignera l’intervalle ]−1 ; +1[. On rappelle que l’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 est un anneau pour l’addition et la multiplication.

Partie A

À tout réel x de E, on associe, par l’application M , la matrice

M(x)= 1

p 1− x2

(

1 −x x 1

)

On désignera par M l’ensemble des matricesM(x) quand x appartient à E.

1. Démontrer queM est une bijection de E sur M .

2. Démontrer que

x, x ∈E ;∀x′, x′ ∈ E, x+ x

1+ xx′ ∈Eet M(xM

(

x′ )

=M (

x+ x

1+ xx

)

puis que M , muni de la multiplication desmatrices, est un groupe commuta- tif. Préciser l’élément neutre de l’inverse deM(x).

3. On définit sur E la loi ⋆ par x + x’

x, x ∈E ;∀x′, x′ ∈E : xx′ = x+ x

1+ xx

Terminale C A. P. M. E. P.

4. Dans cette question, P désigne un plan vectoriel euclidien muni d’une base

orthonormée (−→ ı ,

−→ )

. On désigne par p1 et p2 les endomorphismes de P de

matrices respectives

M1 =

1

2 − 1

2 − 1

2

1

2

dans la base (−→ ı ,

−→ )

.

Calculer les matrices dans la base (−→ ı ,

−→ )

des endomorphismes p1 ◦ p1,p2 ◦ p2,p2 ◦p1,p1 ◦p2. En déduire que p1 et p2 sont deux projections vectorielles que l’on caractérisera géométriquement.

5. Démontrer qu’il existe un réel λ strictement positif que l’on exprimera en

fonction de x tel queM(x)= λM1+ 1

λ M2. (où x est élément de E).

6. On pose [M(x)]1 =M(x) et

n,n ∈N− {0, 1} [M(x)]n =M(x)× [M(x)]n−1 .

Enutilisant les résultats des questions 4. et 5. calculer [M(x)]n sin est un entier naturel non nul.

Partie B

Soit f la fonction définie sur E par

f (x)= 1

2 ln

(

1+ x 1− x

)

où ln désigne la fonction logarithmique népérien.

1. Étudier les variations de f et tracer sa courbe représentative rt dans un repère

orthonormé ( (

O, −→ ı ,

−→ )

du plan affine euclidien P.

2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’aire du domaine, ensemble des points M(x ; y) tels que 06 x6α et 06 y 6 f (x), où α∈]0 ; 1[. Cette aire admet-elle une limite quand α tend vers 1 par valeurs inférieures ?

3. Établir que f est une bijection de E sur R. On pose, si x ∈E, y = f (x). Exprimer x = f −1(y) en fonction de y .

4. Démontrer que

x, x ∈ E;∀x′, x′ ∈ E : f (

xx′ )

= f (x)+ f (

x′ )

c’est-à-dire que f est un isomorphisme du groupe E muni de la loi ⋆ (définie au A 3) sur le groupe Rmuni de l’addition.

5. On définit l’application de R dans M par N = M f −1 c’est-à-dire que si y = f (x), N (y)=M(x). En utilisant le B 3. montrer que

y, y ∈R, N (y)= eyM1+e−yM2

M1 et M2 sont les matrices introduites au A 4.

Ceci ne pouvait-il pas être obtenu en utilisant un résultat du A ?

Lille 2 septembre 1981

Terminale C A. P. M. E. P.

6. Démontrer que

y, y ∈R ; ∀y ′, y ′ ∈R, N (yN (

y ′ )

=N (

y + y ′ )

.

On pose [N (y)]1 =N (y) et

n,n ∈N− {0, 1}, [N (y)]n =N (y)× [N (y)]n−1.

Établir par récurrence que

n, n ∈N− {0}, [N (y)]n =N (ny).

Retrouver ainsi le résultat du A 6.

Lille 3 septembre 1981

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