Géométrie - travaux pratiques 1, Exercices de Géométrie Algorithmique. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Géométrie - travaux pratiques 1 sur la base des logarithmes népériens. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les entiers naturels, Le plan affine euclidien, le nombre complexe.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Mexico juin 1972 \

EXERCICE 1

Résoudre, dans R, l’équation

4e−5x +3e−3x −e−x = 0,

e étant la base des logarithmes népériens et x l’inconnue.

EXERCICE 2

1. Déterminer les entiers naturels, α et β, ayant 11 pour PGCD et 10164 pour produit.

2. Résoudre, dans Z, l’équation

77x−132y = 44.

On cherchera d’abord une solution particulière, puis on déterminera tous les couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation.

PROBLÈME

Le plan affine euclidien est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axes x′Ox

et y ′Oy . On considère la famille des courbes d’équation

4mx2+4max+16y2−m2a2 = 0,

m est un paramètre réel et a une longueur donnée (a > 0).

1. Étudier suivant les valeurs dem la nature des courbes correspondantes.

2. Dans cette partie seulement, on choisit a = 2 p 3 .

On désigne par (C ) la courbe obtenue pourm =−4.

a. Montrer que (C ) est une conique, dont on déterminera le centre, ω, les foyers, les sommets et éventuellement les asymptotes. Calculer son ex- centricité. Tracer la courbe (C ).

b. Calculer la dérivée de la fonction g définie par

g (t)= t

t2+1+Log (

t + √

t2+1 )

,

où Log est le symbole de la fonction logarithme népérien.

c. Écrire l’équation de la courbe (C ) dans le repère (

ω ; −→ ı ,

−→

)

d’axes X ωX

et Y ωY .

Mettre cette équation sous la forme Y 2 = f (X ). Calculer l’aire du do- maine plan borné limité par la courbe (C ), l’axe y ′Oy et l’axe Y ωY .

3. Le paramètre a étant de nouveau quelconque, on désigne par (E ) la courbe obtenue pourm = 3.

a. Montrer que (E ) est une conique. Préciser le centre, les foyers et les som- mets de (E). Calculer son excentricité e. Tracer (E ).

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. M étant un point de (E ), calculer, en fonction de a et de l’abscisse x de M , l’expression rationnelle de la longueur OM .

On note angle (−−→ Ox ,

−−−→ OM

)

= θ. Calculer la longueur OM , en fonction de

a et de e.

c. À chaque point M de (E ) on associe son affixe z.

Donner l’expression de z, en fonction de a et de e uniquement.

d. Soit z ′ et z ′′ les affixes des points M ′ etM ′′ de (E ) d’arguments respectifs α et α+π.

α. Calculer, en fonction de a et de α, le nombre complexe z ′− z ′′. En déduire la longueur M M ′′.

β. On considère le point P d’affixe Z définie par

2

Z =

1

z ′ +

1

z ′′ .

Calculer Z en fonction de a et de α.

En déduire l’ensemble des points P quand α varie.

Mexico 2 juin 1972

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