Géométrie - travaux pratiques 12, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie - travaux pratiques 12 sur l’espace vectoriel des polynômes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les homothéties, la fonction numérique, le plan complexe (P).
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[ Baccalauréat C Pondichéry juin 1972 \

EXERCICE 1

Soit En l’espace vectoriel des polynômes à une variable réelle x de degré inférieur ou égal à n (n > 2). L’ensemble, E2 des polynômes de la variable réelle x, de degré inférieur ou égal à 2, est un sous-espace vectoriel de En . On considère l’application f de E2 dans En qui, à un polynôme P (x) de E2 fait cor- respondre le polynôme Q(x)= f [P (x)] défini par

x ∈R, Q(x)= x(x −1)P ′(x)− (2x +1)P (x),

P ′(x) étant le polynôme dérivé du polynôme P (x).

1. f (E2) désignant l’ensemble des polynômesQ(x), images par f des polynômes P (x) de E2 montrer que f (E2)= E2.

2. Montrer que f est une application linéaire et injective.

EXERCICE 2

À l’espace vectoriel V , on associe l’espace affine E, dans lequel on choisit un point

O. Le vecteur −→ u étant un vecteur donné, non nul, de V , on appelle I le point de E tel

que −→ OI =

−→ u .

D’autre part, k et k ′ sont deux nombres réels non nuls et non inverses (k ×k ′ 6= 1). On considère alors dans E les transformations suivantes :

la translation T ( −→ u )

de vecteur −→ u ,

l’homothétie H(O, k) de centre O et de rapport k,

les homothéties H(I, 1 k ) et H(I, k ′), de centre I et de rapports respectifs

1

k et k ′.

Le symbole ◦ désignant la composition des applications, quelle est la nature des applications suivantes :

A1 = H(I, 1 k ) ◦T(

−→ u )

H(O, k)

et

A2 = H(I, k ′) ◦T( −→ u )

H(O, k)?

Préciser les éléments servant à les définir.

PROBLÈME

Partie A

1. Déterminer les entiers relatifs a,b,c et d , tels que, pour tout x réel, on ait

x3+ax2+4x +8= (x +b) (

x2+cx +d )

(il y a plusieurs solutions).

2. p désignant un nombre premier donné, supérieur à 2, déterminer, en fonction de p, les entiers relatifs a,b,c et d , tels que, pour tout x réel, on ait

x3+ax2+4x +p = (x +b) (

x2+cx +d )

.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Partie B

1. Soit f1 la fonction numérique qui, à tout nombre réel x, associe le nombre

f1(x)= x 3 −3x2+4x +8

et soit f2 la fonction numérique qui, à tout nombre réel x, associe le nombre

f2(x)= x 3 +2x2+4x +8.

Étudier les fonctions f1 et f2 et construire leurs courbes représentatives, (C1) et (C2), dans un plan (P), rapporté à un repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy .

2. Calculer l’aire de la portion de plan située dans le deuxième quadrant (x < 0 et y > 0) et limitée par xx et les courbes (C1) et (C2).

Partie C

À tout point M de coordonnées (x ; y) du plan (P), on associe le nombre com- plexe z = x + iy , que l’on appelle son affixe.

On considère l’application, F , du plan (P) sur lui-même qui, à tout point M d’af- fixe z = x + iy , associe le point M ′ d’affixe z ′ = x′+ iy ′, tel que

z ′ = z3+2z2+5z +8.

1. Quels, sont les points de (P) invariants par F ?

2. Déterminer, par leurs équations, les images respectives des droites xx et y y .

3. Calculer les coordonnées x′ et y ′ du point M ′ = F (M), en fonction des coor- données x et y du point M .

4. Quel est l’ensemble, (H), des points M du plan complexe (P) dont les images M ′ ont une affixe réelle ?

Tracer (H) dans (P) et préciser ses éléments.

5. On pose z = 2+3i. Calculer le module r ′ de z ′ et son argument θ′, exprimé en degrés, avec la précision permise par les tables de logarithmes.

Pondichéry 2 juin 1972

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