Géométrie - travaux pratiques 13, Exercices de Géométrie Algorithmique

Géométrie - travaux pratiques 13, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie - travaux pratiques 13 sur le nombre réel x. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs, les coordonnées, l'équation.
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[ Baccalauréat C Reims juin 1972 \

EXERCICE 1

On pose, pour tout nombre réel x,

f (x)= {

x3Log |x|, pour x 6= 0, 0, pour x = 0.

1. Étudier la fonction f (en particulier, est-elle continue et dérivable en 0), et tracer dans un plan rapporté à un repère orthonormé la courbe (C ) d’équation y = f (x).

2. Calculer l’aire arithmétique du domaine limité par la droite d’équation y = 0

et la courbe (C ), d’une part, les droites d’équations respectives x = 1

2 et x = 2,

d’autre part. (On pourra intégrer par parties.)

EXERCICE 2

1. Soit A l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs tels que

3x −4y = 0.

Déterminer A (autrement dit, résoudre l’équation).

Le sous-ensemble, A, de R2 (espace vectoriel sur R) en est-il un sous-espace vectoriel ?

2. Soit B l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs tels que 3x −4y = 2. Déterminer B (autrement dit, résoudre l’équation).

Le sous-ensemble, B , de R2 est-il un sous-espace vectoriel de R2 ?

PROBLÈME

1. a. On considère l’application linéaire de R2 dans lui-même qui, dans la base (1 ; 0), (0 ; 1), est représentée par la matrice

t = ( p 3 −1 1

p 3

)

Quel en est le noyau ? Quelle est la matrice de l’application réciproque ?

b. Soit (P) un plan muni d’un repère orthonormé R = (

O, −→ U ,

−→ V

)

. Soit T

la transformation de (P) qui, au point de coordonnées (x ; y), associe le point de coordonnées X ; Y ) telles que

X = x p 3− y et Y = x + y

p 3.

Montrer que T est une similitude, dont on précisera le centre, le rapport et l’angle.

c. Soit (E ) l’ensemble des points de (P) dont les coordonnées (X ; Y ), dans le repère R, vérifient la condition

7X 2+13Y 2−6 p 3X Y −24X −8

p 3Y −16= 0.

Soit (e) l’image réciproque de (E ) par T . Montrer que (e) est une conique, dont on précisera la nature et le centre.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. On pose, pour tout point m de (P), de coordonnées x et y dans le repèreR,

ρ =Om et θ = (−→ U ,

−−→ Om

)

(de sorte que x = ρcosθ et y = ρ sinθ). On considère la conique de (P) d’équation

(x − p 3)2+4y2 = 4.

a. Montrer que cette équation se met sous la forme

ρ = 1

2− p 3cosθ

.

b. Quel est (dans le repère R) le nombre complexe associé à la transfor- mation T (c’est-à-dire le nombre complexe, α, tel que l’on ait X + iY = α(x + iy), pour tout couple (x ; y) de nombres réels) ?

Écrire sous forme trigonométrique l’affixe z d’un point m de la conique précé- dente. Calculer l’affixe Z de son transformé M = T (m) ; donner la partie réelle X = f (θ) et la partie imaginaire Y = g (θ) de Z . Donner, sans aucun calcul, la relation indépendante de θ liant X = f (θ)etY = g(θ).

3. Le plan (P) est toujours muni du repère R.

a. Quelle est la matrice, r, associée à la rotation, R, 7t de centre O et d’angle 6" ? Quelle est la matrice, a, associée à la transformation, A, qui, au point de coordonnées (x, y), fait correspondre le point de coordonnées (x, 2y) ? Soit S la transformation R 0 A 0 R-I. Calculer la matrice, s, qui lui est as- sociée.

b. On note t la matrice définissant la transformation T. Calculer st et ta. Quelle est la nature géométrique de l’image de la conique (e) par la trans- formation SoT ?

4. Soit m unmobile dont les coordonnées sont données en fonction du temps ’ ! par x = V3 + 2 cos ’ ! et y = sin T.

a. Quelle est la trajectoire de m? Calculer, à l’instant T, les vecteurs vitesse et accélération de m.

b. En quels points de la trajectoire le mobile a-t-il un vecteur accélération orthogonal au vecteur vitesse ?

Reims 2 juin 1972

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