Géométrie - travaux pratiques 14, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie - travaux pratiques 14 sur la théorie des congruences. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le transformé de P, le raisonnement géométrique.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Rennes juin 1972 \

EXERCICE 1

1. Résoudre l’équation

x ∈R, e 1 x −2= 0

2. x0 étant la solution de l’équation précédente, on désigne par R1 l’ensemble des nombres réels positifs, dont on a exclu le nombre x0. On considère alors la fonction f définie sur R1 de la façon suivante :

  

f (0) = 0 et

f (x) = 2

e 1 x −2

, pour tout x non nul deR1,

e 1 x désignant l’exponentielle de

1

x .

Étudier les variations de la foncLion f . La fonction f est-elle continue à droite du point O ?

Construire la courbe représentative (C ) de la fonction f dans un plan rapporté

à un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ) . On précisera la demi-tangente à la courbe

(C ) pour x = 0.

EXERCICE 2

En utilisant la théorie des congruences ou l’anneau Z/7Z, calculer les restes des di- visions euclidiennes par 7 des puissances successives de 5 :

50, 51, 52, . . . , 5n , . . .

avec n ∈N. Quel est le reste de la division euclidienne de l’entier naturel 197257 par 7. Déterminer l’ensemble des naturels n tels que 1972n soit congru à 4 modulo 7 ?

PROBLÈME

Ondonneunplan affine euclidienorienté rapporté à un repère orthonormé ( O,

−→ u ,

−→ v )

de sens direct d’axes −−−→ x′Ox ,

−−−→ y ′Oy .

À tout point M de ce plan, de coordonnées x, y , on associe le nombre complexe z = x+ iy appelé affixe de ce point. Dans tout le problème, Q désigne un point variable de l’axe xx, de coordonnées (q ; 0),P unpoint variable de l’axe y y , de coordonnées (0 ; p) etM unpoint variable, de coordonnées (x ; y).

1. Dans cette première partie le triplet des points P,Q et M vérifie la propriété P1 :

le triangle (PMQ) est équilatéral avec á(−−→

MP , −−−→ MQ

) = +

π

3 (mod 2π) ; autre-

ment dit,Q est le transformé de P dans une rotation de centre M d’angle + π

3 .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. Quelle relationnécessaire et suffisante doivent vérifier les affixes des points M ,P etQ pour que la propriété P1 soit satisfaite ? Montrer que cette re- lation est équivalente à

p = x p 3− y et q =−x+ y

p 3.

b. On suppose, en outre, que le segment [PQ] a pour longueur p 2(

on a donc ∥∥∥−−→PQ

∥∥∥= p 2 ) .

Quel est alors l’ensemble, (E ), des positions deM ? Préciser les éléments de symétrie de (E ).

Pour déterminer l’équation réduite de (E ), on remplace le repère ( O,

−→ u ,

−→ v )

par le repère ( O,

−→ u′ ,

−→ v

) défini de la façon suivante :

−→ u′ =

p 2

2

(−→ u +

−→ v )

et −→ v ′ =

p 2

2

(−→ u

−→ v ) .

un point M ayant comme coordonnées x et y dans le repère ( O,

−→ u ,

−→ v ) ,

x′ et y ′ dans le repère ( O,

−→ u′ ,

−→ v

) , établir les formules qui expriment

x et y en fonction de x′ et de y ′. En déduire l’équation de (E ) dans le deuxième repère. Préciser la nature de la courbe (E ) ; la construire.

2. Dans cette deuxième partie, le triplet de points (P,Q ,M) vérifie la propriété P2 :

il existe une rotationde centreM dans laquelle le pointP a pour image le point Q .

On pose

á(−−→ MP ,

−−−→ MQ

) = θ (mod 2π),

avec θ ∈]−π ; π]− { − π

2 ; +

π

2

} .

a. On suppose que θ est fixé. Montrer par un raisonnement géométrique que, à tout pointM duplan, est associé un, et un seul, couple (P, Q) donc un, et un seul, pointQ , tel que la propriété P2 soit satisfaite.

On définit ainsi une application de l’ensemble des points M du plan dans l’ensemble des points Q de la droite xx. Définir analytiquement cette application en exprimant q au moyen de x et de y . Montrer que est une application affine, surjective si θ 6= 0. Quel est le noyau de l’application linéaire ϕθ associée à ? Retrouver ce noyau par un raisonnement géométrique.

b. On suppose maintenant que l’on fixe les coordonnées x0 et y0 du point M , θ étant variable. Quelle relation nécessaire et suffisante les normes

des vecteurs −−→ MP et

−−−→ MQ doivent-elles vérifier pour que la propriété P2

soit satisfaite ?

Traduire analytiquement cette relation. En déduire l’ensemble, (F ), des milieux du segment [PQ]. Préciser la nature de cet ensemble (F ) suivant la position du point donné M dans le plan.

Rennes 2 juin 1972

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