Géométrie - travaux pratiques 15, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie - travaux pratiques 15 sur la suite des n nombres complexes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les expressions, les formules, la courbe représentative de f dans (P).
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Rouen juin 1972 \

EXERCICE 1

Soit la suite des n nombres complexes,

u1, u2, . . . , up , . . . , un

définie par

u1 = 1− i et, ∀p ∈ [2 ; n], up =up−1 · j

avec j = cos 2π

3 + isin

2π

3 .

1. Vérifier que u1+u2+u3 = 0.

2. Montrer que, pour tout entier p tel que 46 p 6n, on a up =up−3.

Construire les images des nombres up .

3. En déduire, suivant la forme de n, la valeur de

Sn =u1+u2+ . . .+up ,

puis calculer les expressions

σn =

p=n−1 ∑

p=0 cos

(

π

4 +2p

π

8

)

et σn = p=n−1

p=0 sin

(

π

4 +2p

π

8

)

EXERCICE 2

Soit f l’application de R dans R définie par les formules

{

f (0) = 0 f (x) = xLog |x|pour x 6= 0,

1. La fonction f est-elle continue pour la valeur 0 de la variable ?

Est-elle dérivable en ce point ?

Justifier les réponses.

2. Déterminer la fonction dérivée f ′. Étudier la variation de f ; en donner une re- présentation graphique cartésienne, dans un repère orthonormé (x′Ox, y ′Oy).

3. Aumoyen d’une intégration par parties trouver les primitives de la fonction f .

Calculer l’aire du domaine limité par la courbe représentative de f , l’axe x′Ox et les droites d’équations respectives x = 0 et x = 1.

PROBLÈME

Dans un plan euclidien affine, (P), rapporté à un repère cartésien orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, on considère les points A, B, C, D et E, tels que

−−→ OA =

−→ ı

−→ ,

−−→ AB = 2

−→ ,

−−→ BC =

−−→ CD =−

−→ ı et

−−→ DE =−

1

2

−→ .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Dresser le tableau de variation de la fonction numérique, f , de la variable réelle, x, telle que

f (x)= x2+3x+6

2(x+1) .

Soit (Φ) la courbe représentative de f dans (P).

2. Tracer cette courbe en précisant, en particulier, ses asymptotes et son centre de symétrie.

3. Soit s la symétrie par rapport à la droite (ED) et de direction −−→ EC .

On pose s(M)=M ′. Calculer le couple (

x′ ; y ′ )

des coordonnées du point M ′, en fonction de celui, (x ; y), des coordonnées deM .

Quelle est l’équation de la courbe, (Φ1) transformée de (Φ) par s ? Tracer cette courbe (Φ1) sur la même figure que (Φ).

4. Soit g l’application affine telle que

g (O)= E, g (A)=C et g (B)=D.

Quelle est, dans la base (

−→ ı ;

−→

)

, la matrice de l’application linéaire, γ, asso-

ciée à g ?

Démontrer que g est bijective.

5. Étant donné le point M de coordonnées (x ; y), on pose M ′′ = g (M). Calculer, en fonction de x et de y , le couple

(

x′′ ; y ′′ )

des coordonnées du point M ′′.

6. Quelles sont les équations cartésiennes des courbes (ψ) et (

ψ1 )

transformées respectives de (Φ) et de (Φ1) par l’application, g−1, réciproque de g ?

On donnera, de ces courbes, des définitions géométriques simples.

7. Donner une définition géométrique simple de l’application composée g−1 ◦ s g .

Rouen 2 juin 1972

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