Géométrie - travaux pratiques 16, Exercices de Géométrie Algorithmique

Géométrie - travaux pratiques 16, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie - travaux pratiques 16 sur la courbe représentative de f dans (P). Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le point M de coordonnées, la définition géométrique simple de l’application composée.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Strasbourg juin 1972 \

EXERCICE 1

Soit (E ) un espace vectoriel sur R, de dimension 2 rapporté à une base (

−→

ı , −→

)

, et f

l’application linéaire, dont la matrice dans la base (

−→

ı , −→

)

est

M =

(

2 3 −1 −2

)

Pour tout réel, λ, on note () l’ensemble des vecteurs −→

u de (E ) tels que f (

−→

u )

=λ −→

u .

1. Démontrer que f est un automorphisme involutif de (E ).

2. Démontrer que, si λ est un réel distinct de −1 et de 1, (E ) se réduit au vecteur nul.

3. Déterminer (E1) et (E−1) en donnant une base pour chacun d’eux.

Démontrer que ce sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires.

En déduire une nouvelle base de (E ) et donner la matrice de f dans cette base.

EXERCICE 2

On note 0̇, 1̇, 2̇, 3̇, 4̇ et 5̇ les éléments de l’anneau (Z/6Z, +,×).

1. Dresser la table de multiplication de l’anneau.

2. Résoudre, dans Z/6Z, l’équation 2̇x = 0̇.

3. Résoudre, dans Z/6Z, le système

{

2̇x+ 2̇y = 4̇, 5̇x+ 3̇y = 3̇.

PROBLÈME

On désigne par R l’ensemble des nombres réels et par R+ le sous-ensemble des nombres réels positifs ou nul.

1. Étudier la fonction de R+ dans R définie par

{

f (0) = 0, f (x) = xLog x pour x > 0.

On étudiera, en particulier, la continuité et la dérivabilité au point 0.

Tracer la courbe représentative de la fonction f , le plan étant rapporté à un

repère (

O, −→

ı , −→

)

orthonormé. (On prendra une unité graphique de 4 cm sur

chaque axe.)

On précisera les tangentes aux points d’intersection avec l’axe Ox.

2. Étudier la fonction de R+ dans R définie par

g (0) = 0,

g (x) = x2

2 Log x

x2

4 pour x > 0.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

On étudiera, en particulier, la continuité et la dérivabilité au point 0.

Tracer la courbe représentative de la fonction g sur le même graphique que la courbe représentative de f .

Préciser les tangentes aux points d’intersection avec l’axe Ox.

3. Recherche des solutions non nulles de l’équation f (x)= g (x).

a. Démontrer que les solutions non nulles de l’équation f (x) = g (x) sont les abscisses des points d’intersection des courbes représentatives de la fonction logarithme népérien et de la fonction homographique, h, défi-

nie, pour x réel et distinct de 2, par h(x)= x

2(x−2) .

(Le tracé des courbes n’est pas demandé.)

b. Comparer les signes de h(3)−Log3 et de h(4)−Log4. En déduire l’exis- tence d’une solution de l’équation f (x) = g (x), comprise entre 3 et 4. Démontrer qu’elle est unique dans cet intervalle.

c. Démontrer, de même, l’existence et l’unicité d’une solution, notée α,

comprise entre 1

2 et 1 ; déterminer la valeur décimale approchée, à 10−1

près par défaut, du nombre réel α.

4. Soit t un nombre de l’intervalle ouvert ]0 ; α[, où α est le réel défini à la ques- tion 3. c.

a. Calculer, en fonction de t et de α, l’intégrale

I (t ,a)= ∫a

t [g (x)− f (x)]dx.

b. Démontrer que I (t , a) a une limite quand t tend vers 0 et que cette limite est la valeur en a d’une fraction rationnelle.

Strasbourg 2 juin 1972

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