Géométrie - travaux pratiques 18, Exercices de Géométrie Algorithmique

Géométrie - travaux pratiques 18, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie - travaux pratiques 18 sur le plan affine euclidien. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la nature géométrique de la transformation T, le nombre réel, la fonction.
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[ Baccalauréat C Togo juin 1972 \

EXERCICE 1

Montrer par récurrence, que, pour tout entier naturel n, le nombre 3n+3−44n+2 est divisible par 11.

EXERCICE 2

Soit a et b deux nombres complexes. Quelle relation doit lier a et b pour que les

nombres complexes az et z

b aient, pour tout z complexe,

1. même module ;

2. des arguments opposés ?

Lorsque ces deux conditions sont remplies simultanément que peut-on dire

des nombres az et z

b ?

Application : Soit a = 1+ i. Déterminer b pour que les deux conditions ci- dessus soient vérifiées.

N.B. - On rappelle que z désigne le nombre complexe conjugué de z.

PROBLÈME

Soit la fonction fa , de R dans R, définie par

fa (x)= ax+1+Log (ax)

(a est un paramètre réel et Log désigne la fonction logarithme népérien).

Partie A

1. fa existe-t-elle quel que soit a ? (Dans toute la suite a est supposé tel que fa existe.) Quel est le domaine de définition de fa ?

2. Soit (Ca) la courbe représentative de fa en repère orthonormé. Montrer que (Ca) admet unedirection asymptotique ; (Ca ) admet-elle une asymptote oblique ?

3. Montrer que, pour tout a 6= 0 et pour tout x tel que fa (x) soit défini, on a f a(x)= fa (−x).

Par quelle transformation géométrique simple (Ca ) se déduit-elle de (Ca) ?

4. Étudier la fonction f2 et tracer (C2) et (C−2). Montrer à cette occasion que

l’équation f2(x)= 0° admet une racine comprise entre 1

4e et

1

2e .

Partie B

Soit E l’ensemble des courbes (Ca) quand a parcourt R− {0}=R⋆. On définit dans E une loi de composition (notée ⋆) par (Ca)⋆ (Cb)= (Cab).

1. Montrer que (E , ⋆) possède une structure de groupe abélien.

2. Montrer que (E , ⋆) est isomorphe à (

R ⋆, ×

)

.

3. Peut-on définir, dans E , une loi de composition (notée ⊥ par (Ca ) ⊥ (Cb) = (Ca+b) ?

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

4. Déterminer tous les couples (a, b), d’entiers relatifs, tels que

(Ca)⋆ (Cb)= (Ca+b) .

Partie C

Soit la transformation du plan dans lui-même, qui, à tout point M de coordon- nées (x ; y) associe le point M ′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

dans un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, défini par

x′ = 1

λ x et y ′ = y, λ∈R⋆.

1. Reconnaître la transformation . Montrer que l’ensemble, T , des transfor- mations

(

λ ∈R⋆ )

, muni de la loi de composition des applications, possède une structure de groupe abélien isomorphe à

(

R ⋆, ×

)

.

2. Quelle est la transformée par d’une courbe (Ca) ?

3. Montrer que est une bijection de E dans E . [E est l’ensemble des courbes (Ca)].

4. A-t-on l’égalité

(Ca Cb)= (Ca )⋆(Cb) ?

Si a+b 6= 0, a-t-on l’égalité

(Ca Cb)= (Ca )⊥(Cb) ?

5. Montrer que (T , ◦) et (E , ⋆) sont isomorphes.

N.-B. - On donne pour valeurs décimales approchées des nombres e et Log 2 les nombres 2,7 et 0,7.

Togo 2 juin 1972

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