Géométrie - travaux pratiques 19, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie - travaux pratiques 19 sur les endomorphismes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation, le symbole de la loi de composition des applications.
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[ Baccalauréat C Toulouse juin 1972 \

EXERCICE 1

Le plan (E) est un plan vectoriel rapporté à une base (−→ ı ,

−→

)

. On considère la fa-

mille, F , des endomorphismes fm de (E) [c’est-à-dire des applications linéaires de

(E) dans (E)] qui ont une matrice de la forme

(

m 1 1 m

)

,m étant un nombre réel.

1. Déterminer l’ensemble des valeurs de m pour lesquelles fm est un automor- phisme de (E).

Déterminer le noyau et l’image de chacun des endomorphismes de la famille qui ne sont pas des automorphismes.

2. Déterminer et reconnaître tout endomorphisme involutif appartenant à la fa- mille F .

EXERCICE 2

Résoudre dans l’ensemble, C, des nombres complexes l’équation

z4+ (5− i)z2+4−4i= 0.

Donner les solutions sous leur forme trigonométrique.

PROBLÈME

On désigne par (∆) l’ensemble des nombres réels différents de −1 et de +1 : (δ) = R− {−1 ; 1}.

1. Étudier les variations de l’application f , de (∆) dans R, définie par

f (x)= x3−9x

2 (

x2−1 )

f est-elle une bijection de (∆) sur R ?

2. Les restrictions de f à ]−∞ ; −1[, à ]−1 ; 1[ et à ]1 ; +∞[ sont-elles des bijec- tions ? Pourquoi ?

3. Soit a un élément donné de (∆).

Démontrer que a, a−3

a+1 et −

a+3

a−1 sont les trois solutions de l’équation f (x)=

f (a).

Soit les applications de (∆) dans R définies par

i (a)= a, u(a)= a−3

a+1 et v(a)=−

a+3

a−1 .

Établir que f i = f u = f v (◦ est le symbole de la loi de composition des applications).

Comparer v(a) et −u(−a) et u(a) et −v(−a).

4. Utiliser une propriété de f pour déduire de la question précédente les solu- tions de l’équation f (x)+ f (a)= 0, a étant un élément donné de (∆).

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

5. Donner le domaine de définition et la représentation graphique, en repère or- thonormé, de la fonction k qui, au nombre réel x, fait correspondre

k(x)=

x2−9 ∣

x2−9 .

6. On considère la fonction g définie par

{

g (x) = k(x) · f (x), pour x ∈ (∆)− {−3 ; 3} g (−3) = g (3)= 0.

a. g est-elle continue au point d’abscisse 3 ?

b. g est-elle dérivable au point d’abscisse 3 ?

c. Donner le tableau de variation de g et construire par rapport au même

repère (

O, −→ ı ,

−→

)

sa représentation graphique.

7. Soit m un nombre réel strictement plus grand que 3. Calculer l’aire, Am , de

l’ensemble des pointsM(x ; y) qui ont, dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, une abscisse

x et une ordonnée y vérifiant les inégalités

p 56 x 6m et g (x)6 y 6

x

2

Déterminer le nombre réelm (m > 3) pour que Am soit égale à 6.

Toulouse 2 juin 1972

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