Géométrie - travaux pratiques 2, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie - travaux pratiques 2 sur l’espace vectoriel. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les ensembles, la fonction polynôme, l’application.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Montpellier juin 1972 \

EXERCICE 1

Déterminer les restes de la division par 13 des quatre premières puissances de 5. En déduire que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre

N = 314n+1+184n−1

est divisible par 13.

EXERCICE 2

On considère l’espace vectoriel, P3 sur le corps des nombres réels, R, des applica- tions polynômes, de R vers R, de degré inférieur ou égal à 2. Un élément, P , de P3 est déterminé par ses coefficients, a,b et c, réels et il définit la fonction

x 7−→P (x)= ax2+bx +c.

1. Démontrer que les ensembles suivants :

A = {

P ∈P3/P (x)= ax 2 +bx, (a, b)∈R2

}

et B = {

P ∈P3/P (x)=λx 2 −2µx +λ, (λ, µ) ∈R2

}

sont des sous-espaces vectoriels de P3.

Déterminer une base de A et une base de B et en déduire les dimensions de A et de B .

2. Déterminer l’intersection AB des deux sous-espaces A et B et la dimension de cette intersection.

3. Soit f l’application de P3 vers P3 définie par

P 7−→Q = f (P ),

Q est la fonction polynôme définie par Q(x)= P (x)+ (x −1)P ′(x), P ′ étant la fonction dérivée de P .

Montrer que f est une application linéaire.

PROBLÈME

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy , à tout nombre complexe z = x + iy (x ∈ R, y ∈ R) on associe le point, m, de coordonnées x et y ; m est dit image de z, z est dit affixe de m. On désigne par A, B, C et D les images

respectives des nombres −1, +1, 1

3 et 3 et par (C ) le cercle de diamètre [AB].

À tout point m, différent de D, on associe son affixe z, puis le nombre complexe

Z = (3z −1)z

z −3 ,

et enfin l’image M de Z . On désigne par T l’application qui à m associe M .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Démontrer que Z peut s’écrire sous la forme Z = az +b + c

z −3 les nombres

a,b et c étant des nombres réels.

2. On suppose que m parcourt l’axe x′Ox. Étudier alors la fonction f telle que

f (x)= (3x −1)x

x −3

et tracer sa courbe représentative. En déduire l’image du segment [AB] par T . Calculer l’aire comprise entre la courbe, son asymptote oblique et les droites d’équations respectives x = e+3 et x = 6 (e désignant la base des logarithmes népériens).

3. Soit Z1 = 3z −1

3− z ; démontrer· que |Z1| = 3

mC

mD et arg Z1 =

(

−−→ mD ,

−−→ Cm

)

.

4. Quel est l’ensemble des points m tels que mC

mD =

1

3 ?

En déduire que pour ces points on a |z| = |Z1| = |Z | = 1.

On suppose quem appartient audemi-cercle (C ′) de diamètre [AB] qui contient l’image de i. Soit θ l’argument de z (06 θ6π) et ϕ l’argument de Z1.

Montrer que sinϕ> 0.

On suppose 06ϕ6π. Calculer cosϕ en fonction de cosθ et en déduire que ϕ est une fonction croissante de θ.

Calculer une valeur approchée de ϕ lorsque θ = π

3 .

Montpellier 2 juin 1972

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