Géométrie - travaux pratiques 5, Exercices de Géométrie Algorithmique

Géométrie - travaux pratiques 5, Exercices de Géométrie Algorithmique

PDF (40.7 KB)
3 pages
208Numéro de visites
Description
Géométrie - travaux pratiques 5 sur la fonction de R dans R. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la base orthonormée de E, les vecteurs.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
NantesCjuin1972*.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Nantes juin 1972 \

EXERCICE 1

On considère la fonction de R dans R définie par

f (x)= x+1+2e−2x

1. Étudier les variations de f et tracer la courbe représentative (C ) de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé dont l’un des axes est x′Ox.

2. Calculer l’aire du domaine plan limité par (C ), son asymptote et les droites ayant pour équations respectives x = 0 et x =m (m > 0). Quelle est la limite de cette aire quandm croît indéfiniment ?

EXERCICE 2

Une personne a placé une somme, S. À la fin de chaque année, l’intérêt de ce place-

ment est égal à 1

25 de la somme due au début de cette même année ; cette personne

peut percevoir effectivement l’intérêt ou bien le laisser placé à son tour : en fait elle choisit cette seconde solution.

1. Quelle somme lui est-il dû à la fin de la deuxième année, de la troisième année, de la n-ieme année

(

n ∈N⋆ )

?

2. Pendant combien d’années, au moins, lui faudra-t-il poursuivre son place- ment pour qu’il lui soit dû une somme supérieure à 2S ?

PROBLÈME

Partie A

Soit E un plan vectoriel euclidien et (−→ ı ,

−→

)

une base orthonormée de E. Une appli-

cation linéaire, f , de E dans E admet pour matrice dans la base (−→ ı ,

−→

)

A = (

a 1−a b 1−b

)

(a et b sont des nombres réels donnés).

1. Déterminer l’ensemble (∆) des vecteurs de E invariants par f . Quelles condi- tions faut-il imposer à a et à b pour que f soit la transformation identique de E ?

Lorsqu’il n’en est pas ainsi, démontrer que (∆) est une droite vectorielle, dont on donnera un vecteur de base.

2. Déterminer le noyau, N , de f , c’est-à-dire l’ensemble, N , des vecteurs −→ u de E

vérifiant f (−→ u

)

= −→ 0 .

À quelle condition N contient-il des vecteurs non nuls ? Démontrer que, dans ce cas, N est une droite vectorielle, dont on donnera une base.

3. On suppose a = b. a. Démontrer que (∆) et N sont des sous-espaces vectoriels supplémen-

taires de E. Définir géométriquement l’application f .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. On suppose, de plus, a = b = 2 ; démontrer que f est alors la projection orthogonale sur (∆).

On désigne par g la projection orthogonale sur N et par h la symétrie

vectorielle orthogonale par rapport à (∆) ; si −→ v est un vecteur quelconque

de E, quelles relations simples peut-on établir entre −→ v , f

(−→ v

)

, g (−→ v

)

et

h (−→ v

)

?

En déduire les matrices, dans la base (−→ ı ,

−→

)

, de g et de h.

4. On suppose, dans cetLe question,

(ab)(ab−1)(a−1)b 6= 0.

On se propose d’étudier les vecteurs −→ u non nuls de E vérifiant f

(−→ u

)

=λ −→ u , où

λ est un réel.

a. Démontrer qu’il existe deux valeurs, λ1 et λ2 de λ répondant à cette question.

b. Démontrer que les vecteurs −→ u1 (resp.

−→ u2 ) associés à λ1 (resp.λ2) sont les

vecteurs d’un sous-espace vectoriel (D1) [resp. (D2)] de E.

Indiquer une base de (D1) et une base de (D2). Démontrer que (D1) et (D2) sont supplémentaires.

c. Démontrer que, à tout vecteur −→ v de E, on peut associer

−→ v1 de (D1) et

−→ v2

de (D2) de façon à obtenir

f (−→ v

)

=λ1 −→ v1 +λ2

−→ v2 .

d. Exemple : a =−1,b = 2. Préciser (D1), (D2) et f (−→ v

)

.

Partie B

Onconsidère le plan affine euclidien, (E ), de directionE et rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Soitϕ l’application affine associée à f et pour laquelle O′ =ϕ(O) est O : le transformé M ′ =ϕ(M) d’un point quelconque M de (E ) est donc défini par

−−−→ OM ′ = f

(−−−→ OM

)

.

On suppose de plus que l’on a a =−1 et b = 2.

1. Démontrer que l’expression analytique de ϕ, dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, est

donnée par les relations

M(x ; y) 7−→ϕ(M)=M ′(x′ ; y ′),

avec

{

x′ = −x+2y y ′ = 2xy.

2. On considère le repère (

O, −→ I ,

−→ J

)

défini par

−→ I =

p 2

2

−→ ı

p 2

2

−→

−→ J =

p 2

2

−→ ı +

p 2

2

−→

Démontrer que, dans cenouveau repère, l’expression analytique deϕ est, avec M(X ; Y ) 7−→M ′(X ′ ; Y ′),

{

X ′ = −3X Y ′ = Y .

On pourra pour cela exprimer −→ ı et

−→ en fonction de

−→ I et de

−→ J .

Nantes 2 juin 1972

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. Soit (C ) le cercle dont l’équation dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

est

x2+ y2−2x−2y = 0.

Quelle est l’équation de ce cercle dans le repère (

O, −→ I ,

−→ J

)

?

En déduire l’équation, la nature et les éléments remarquables de la courbe (

C ′), transformée de (C ) par ϕ.

(Faire une figure précise en utilisant les résultats de la question précédente.)

Nantes 3 juin 1972

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome