Géométrie - travaux pratiques 6, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie - travaux pratiques 6 sur le logarithme népérien de u. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble de définition, le repère orthonormé, la puissance.
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[ Baccalauréat C Nantes septembre 1971 \

EXERCICE 1

Le symbole Log u désigne le logarithme népérien de u. On considère la fonction f de la variable réelle x définie par

f (x)= x

g (x) et g (x)= Log (sinx);

on impose à x d’appartenir à [0 ; 2π].

1. Déterminer l’ensemble de définition, (D), de f .

2. Calculer la dérivée f ′ de f et la dérivée h′ de h définie par h(x)= f ′(x).g 2(x).

3. Étudier le signe de f ′(x) pour tout x de (D).

EXERCICE 2

1. p est un paramètre réel ; discuter graphiquement le nombre de racines stric- tement positives de l’équation

x3+ x p = 0

où où x est l’inconnue.

2. q est un paramètre réel ; discuter graphiquement le nombre de racines stric- tement positives de l’équation

x4+1

x3 −q = 0

x est l’inconnue.

3. m est un paramètre réel ; on envisage le système de deux équations à deux inconnues (x et y) :

{

(x + y)Log x = mLog y, (x + y)Log y = 9mLog x.

Vérifier qu’il admet dans R×R la solution S = (1 ; 1) indépendante de m.

Discuter, suivant les valeurs de m, le nombre des solutions différentes de S que ce système admet dansR×R ; on ne demande pas de calculer ces solutions lorsque m est quelconque.

Déterminer, si elles existent, les solutions pour

m = 10

3 , m =

2

3 , m =−1.

PROBLÈME

Le plan est rapporté à un repère orthonormé, O est l’origine, x′Ox et y ′Oy sont les axes. Le nombre a est un réel constant strictement positif. Le point A est le point (0 ; a). M et M ′ sont deux points quelconques, symétriques par rapport à l’axe des abs- cisses. On considère l’inversionJ , dont le pôle est A et dont la puissance est le réel constant non nul k.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. a. Démontrer que, lorsque M varie, les cercles (AM M ′) engendrent un fais- ceau, que l’on précisera.

Le point M étant fixé, J transforme M et M ′ respectivement en P et P ′ : quel est le transformé du cercle (AM M ′) ?

En déduire que, lorsque M varie, les droites (PP ′) passent par un point fixe B, dont on indiquera les coordonnées en fonction de a et de k.

b. M étant fixé, quel est le transformé du cercle (APP ′) ?

Démontrer que ce cercle admet en A une tangente fixe.

Conclure que, lorsque M varie, les cercles (APP ′) engendrent un fais- ceau, que l’on précisera.

c. Les cercles (AM M ′) et (APP ′) peuvent-ils être orthogonaux ?

2. Démontrer que P et P ′ s’échangent dans une inversionJ1 dont le pôle est fixe et dont la puissance est constante.

3. Soit T la transformation définie par T = J1 ◦J (J suivie de J1), on ne de- mande pas une étude complète ; on répondra seulement aux questions sui- vantes.

a. Quel est le transformé de M , que l’on note T (M) ?

T (M) est-elle une transformation involutive ?

b. Calculer les coordonnées de T (M) en fonction de a,k,u et v , où u et v sont les coordonnées de M .

T (M) admet-elle des points doubles ? Examiner le cas particulier k = a2 ?

c. M étant fixé, quel est le transformé du cercle (MM’P) dans :1 j dans :Il j dans ? Quelle est la puissance de 0 pour ce cercle ? Démontrer que, lorsqueM varie, ces cercles engendrent un faisceau, dont on discutera la nature. Si l’on appelle I et J les points remarquables de ce faisceau (points limites, ou points de base), quels sont (I) et (J) ?

Nantes 2 septembre 1971

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