Géométrie - travaux pratiques 8, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie - travaux pratiques 8 sur la forme générale des éléments de E. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la nature de la courbe (C), la loi de composition externe.
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[ Baccalauréat C Orléans–Tours juin 1972 \

EXERCICE 1

On considère l’ensemble, E, des entiers relatifs x qui vérifient simultanément

x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 2 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7), x ≡ 2 (mod 9).

Indiquer la forme générale des éléments de E et déterminer les éléments de E qui sont compris entre (−1000) et (−500). Quel est le plus grand commun diviseur (P.G.C.D.) de deux éléments consécutifs de E ?

EXERCICE 2

Le plan est rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. Déterminer la nature de la courbe (C ), ensemble des points M , de coordon- nées (x ; y) tels que

3x2+4y2+6x−9= 0.

Préciser les éléments caractéristiques de cette courbe (éléments de symétrie,

foyers, directrices), la représenter dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

2. Au point M de (C ), de coordonnées (x ; y), on associe le nombre complexe z = x+ iy , affixe deM .

Calculer le module de z, en fonction uniquement

a. de l’abscisse, x, de z,

b. d’un représentant, θ, de l’argument de z.

Soit M ′ et M ′′ les points de (C ) ayant pour affixes z ′ et z ′′ d’arguments représentés respectivement par θ et θ+π (−π< θ6π).

Calculer la longueur du segment [

M M ′′ ]

, c’est-à-dire la distance des points M ′ et M ′′, en fonction de θ.

PROBLÈME

On rappelle que l’ensemble des applications de R vers R, noté F , muni – d’une loi de composition interne (addition des fonctions numériques) :

(∀ f F )(∀g F )(∀x ∈R) [( f + g )(x)= f (x)+ g (x));

– d’une loi de composition externe (multiplication par un réel) :

(∀ f F )(∀λ ∈R)(∀x ∈R) [(λ f )(x)=λ f (x)),

est un espace vectoriel sur R.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

On désigne par E l’ensemble des applications ϕ de R vers R définies par

ϕ(x)= (ax+b)e−x , a etb décrivantR.

Un élément de E est donc déterminé par la donnée d’un couple (a ; b) de réels. On note ϕ1 l’application correspondant au couple (1 ; 0) et ϕ2 celle correspondant au couple (0 ; 1).

1. a. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de F et que (

ϕ1 ; ϕ2 )

est une base de E.

b. Démontrer que la partie, A, de E formée des fonctions ϕmonotones (au sens large) sur R est un sous-espace vectoriel de E, dont on indiquera une base.

Montrer que toute applicationϕnonnulle, de A possèdeune application réciproque, ϕ−1. Expliciter ϕ−1 et préciser son ensemble de définition.

2. À toute fonctionϕ de E, on fait correspondre (ϕ)=ϕ+ϕ′ (ϕ′ étant la fonction dérivée de ϕ.

a. Démontrer que est une application linéaire de E vers E. Quel est l’es- pace vectoriel (E), image de E, par cette application ? Donner la matrice L de dans la base

(

ϕ1 ; ϕ2 )

.

b. Déterminer le noyau de et l’ensemble des éléments de E invariants par .

3. a. On suppose a et b rationnels. Calculer une primitive de la fonction ’il définie par

ϕ(x)= (ax+b)e−x

et déterminer les rationnels a et b tels que

∫0

−1 (ax+b)e−x dx =−1.

b. Étudier la fonction ϕ1 définie sur R par ϕ1(x)= xe−x .

Tracer la courbe représentative (C ) de ϕ1 dans un système d’axes ortho- normé (x′Ox, y ′Oy).

Calculer la moyenne de ϕ1 sur l’intervalle fermé [-1 ; 0].

Déterminer l’aire comprise entre la courbe (C ), la droite (xx), la droite (y y) et la droite d’équation x = h, h étant une constante positive.

Quelle est la limite de cette aire quand h tend vers +∞ ?

Orléans–Tours 2 juin 1972

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