Géométrie - travaux pratiques 9, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie - travaux pratiques 9 sur la variation de la fonction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les entiers naturels a et b, les symétries orthogonales, les équations de l’ensemble, l’opérateur complexe...
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[ Baccalauréat C Centres d’Outremer juin 1972 \

EXERCICE 1

1. Étudier la variation de la fonction définie par

x 7−→ f (x)= y = ex + x(Log x−1−e).

On pourra préciser le signe de f ′′(x) pour étudier le signe de f ′(x).

2. Construire, dans un repère orthonormé x′Ox, y ′Oy , l’unité de longueur étant le centimètre, la courbe (C ) représentant la fonction f .

3. Calculer l’aire du domaine limité par (C ), l’axe xx et les droites d’équations respectives x = 2 et x = 3.

EXERCICE 2

Déterminer tous les entiers naturels a et b dont le P.G.C.D, (d), et le PPCM, (m), vérifient la relation

m−2d = 22.

PROBLÈME

Partie A

1. Soit un espace vectoriel euclidien orienté −→ E de dimension 3, muni d’une base

orthonormée directe (−→ ı ,

−→ ı ,

−→ k ) . On considère l’endomorphisme, σ, défini

par ∀ −→ u (x ; y ; z) ∈

−→ E , σ

(−→ u ) = −→ u

( x′ ; y ′ ; z

) , tel que

  

x′ = 1

3 (x−2y −2z),

y ′ = 1

3 (−2x+ y −2z),

z ′ = 1

3 (−2x−2y + z).

Calculer les coordonnées de σ (−→ ı ) , σ

(−→ ) et σ(

−→ k ). En déduire que σ est un

endomorphisme orthogonal.

Comparer le produit vectoriel σ (−→ ı ) ∧σ

(−→ ) au vecteur σ(

−→ k ). En déduire que

σ n’est pas une rotation vectorielle.

Déterminer l’ensemble, −→ P , des éléments invariants de

−→ E par σ.

En déduire la nature de σ.

2. On considère les symétries orthogonales,σ1 etσ2, de −→ E , par rapport aux plans

respectifs suivants :

P1 d’équation x+ y + z = 0etP2 d’équation x p 6+ y z = 0.

Déterminer la nature de l’endomorphisme, ϕ, de −→ E , défini par

ϕ=σ2 ◦σ1

Préciser les équations de l’ensemble, −→ ∆ , des éléments invariants par ϕ.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. On appelle −→ Π le plan vectoriel de

−→ E orthogonal à

−→ ∆ etR la restriction deϕ au

plan −→ Π .

a. Le plan −→ Π est orienté par la détermination d’un vecteur

−→ K ′ unitaire de

−→ ∆ . Calculer les coordonnées de

−→ K ′ , sachant que son abscisse est choisie

positive.

Soit −→ u1 et

−→ u2 deux vecteurs respectivement orthogonaux à

−→ P1 et à

−→ P2 .

On pose (−→ u1 ,

−→ u2

) = θ.

b. En déduire sinθ à l’aide du produit vectoriel des deux vecteurs orthogo-

naux à −→ P1 et à

−→ P2 . Calculer cosθ, puis définir la mesure, θ, à près,

de l’angle á(−−→ D1 ,

−−→ D2

) des droites,

−−→ D1 et

−−→ D2 intersections respectives des

plans −→ P1 et

−→ P2 avec

−→ Π .

En déduire que l’application R dans −→ Π est une rotation vectorielle, dont

on donnera l’angle α.

Partie B

Dans cette partie, on considère le plan affine euclidien (Π) associé au plan vectoriel

euclidien −→ Π de la partie A. Le plan (Π) est muni d’un repère orthonormé

( O,

−→ ı ,

−→ ) .

Soit r la rotation plane de centre O et d’angle − 2π

3 .

On appelle opérateur complexe d’une application f de (Π) dans (Π), la relation entre z = x+ iy affixe d’un point M de (Π), de coordonnées (x ; y), et z ′ = x′+ iy ′ affixe du point M ′ = f (M), de coordonnées

( x′ ; y

) .

1. Déterminer l’opérateur complexe de la rotation r .

2. Déterminer l’opérateur complexe de la similitude, S, d’angle− π

6 et de rapport

2, et qui fait correspondre au point O(0 ; 0) le point O′(1 ; −2) : O′ = S(O). 3. En déduire l’opérateur complexe de l’application, S ′, définie par

S ′ = S r.

Déterminer la nature de S ′ et ses caractéristiques géométriques à l’aide de l’opérateur de S ′.

Centres d’Outremer 2 juin 1972

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