L'analyse numérique – exercices d'algèbre – 1, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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L'analyse numérique – exercices d'algèbre 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la nature et les éléments caractéristiques de la composée, le système, la courbe.
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[ Baccalauréat C Lille juin 1983 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Le plan affine euclidien P est rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

orthonormé.

On donne les points A(1 ; 1) et B(−1 ; 0).

1. Soit f la similitude inverse de centre A, d’axe (OA) et de rapport 2. Exprimer l’affixe z ′ deM ′ = f (M) à l’aide de l’affixe z deM .

2. Faire de même avec la similitude directe g de centre B , d’angle de mesure π

2

et de rapport 1

2 .

3. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la composée g f .

EXERCICE 2 3 POINTS

1. Résoudre dans l’ensemble Z2 chacune des équations suivantes :

a. (α, β) ∈Z2 ; 17α−19β = 2 ; b. (α, β) ∈Z2 ; 17α−19β =−2 ;

2. a. Trouver tous le entiers relatifs n vérifiant simultanément {

n ≡ 0 [17], n ≡ −2 [19].

b. Résoudre, de même, le système

{

n ≡ −2 [17], n ≡ 0 [19].

3. Déduire de ce qui précède l’ensemble des entiers relatifs n tels que

n2+2n ≡ 0 [323].

EXERCICE 2 14 POINTS

(Les trois parties du texte sont dans une largemesure indépendantes) Pour tout entier naturel n, on définit la fonction numérique fn par :

x ∈R, f0(x)= 1

1+ x2 et fn(x)=

xn

1+ x2 pour tout n ∈N∗ .

On note Cn la courbe représentant fn dans un plan affine euclidien E rapporté à un

repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité : 4 cm), et on désigne par In l’intégrale

In = ∫1

0 fn (t)dt .

Partie 1

1. Étudier les variations de f1 et tracer la courbeC1.

2. Soitϕ l’application du plan E dans lui-même qui au pointM de coordonnées (x ; y), associe le point M de coordonnées x = x et y = xy . Montrer que ϕ est une symétrie, dont on précisera l’axe et la direction.

Vérifier que la courbeC3 est l’imagedeC1 parϕ. Tracer alorsC3 dans lemême repère que C1.

Le baccalauréat de 1983 A. P. M. E. P.

3. Calculer I1+ I3. En déduire la valeur de I3. 4. Calculer en cm2 l’aire du domaine délimité par les courbes C1 et C3 et les

droites d’équations x =−1 et x = 1.

Partie 2

Soit u la fonction définie sur R par

u(x)= ∫x

0

1

1+ t2 dt .

1. Montrer que u est dérivable sur R et calculer u′(x).

2. On pose, pour tout x de l’intervalle ]

π2 ; π 2

[

, F (x)= u(tanx). a. Préciser F (0).

b. Montrer que F est dérivable et calculer F ′(x), pour x ∈ ]

π2 ; π 2

[

.

c. En déduire que : ∀x ∈ ]

π2 ; π 2

[

, F (x)= x.

d. Déduire de l’égalité précédente la valeur de I0 = ∫1

0

1

1+ t2 dt .

3. a. Montrer que, pour tout entier naturel p,

I2p+1+ I2p+2 = 1

2p+1 .

Calculer alors I2, I4 et I6.

b. Montrer que pour tout p ∈N, on a 06 I2p 6 1

2p+1 .

En déduire la limite de I2p quand p tend vers +∞. 4. On définit la suite

(

vp )

p∈N∗ par :

p > 1, vp = 1− 1

3 + 1

5 − 1

7 + . . .+

(−1)p−1

2p+1 .

Montrer que ∀p > 1, vp = I0+ (−1)p−1I2p . Quelle est la limite de vp quand p tend vers +∞ ?

Partie 3

On considère, dans un espace affine euclidien E de dimension 3, unmobile M dont

les coordonnées sont, dans un repère (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

x = 1

1+ t2 , y =

t

1+ t2 , z =

t2

1+ t2 t désignant le temps et décrivant l’intervalle [0 ; +∞[.

1. Montrer que le point M appartient à un plan P dont on donnera une équa- tion.

2. Vérifier que le point O′ de coordonnées ( 1 2 ; 0 ;

1 2

)

et les vecteurs −→ u =

−→ et

−→ v = 1p

2

(−→ ı

−→ k

)

constituent un repère orthonormé de P .

Trouver un vecteur −→ w tel que

(

O′, −→ u ,

−→ v ,

−→ w

)

soit un repère orthonormé de

E .

3. Exprimer, en fonction de t , les coordonnées X ,Y et Z du point mobile M

dans le repère (

O′, −→ u ,

−→ v ,

−→ w

)

.

En déduire que le point M appartient à la courbe Γ du plan d’équation

4X 2+2Y 2 = 1. Tracer cette courbe dans le repère

(

O′, −→ u ,

−→ v ,

−→ w

)

.

Préciser la trajectoire deM et le sens de parcours sur sa trajectoire

Baccalauréat C Lille 2 juin 1983

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