L'analyse numérique – exercices d'algèbre – 10, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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L'analyse numérique – exercices d'algèbre 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction dérivée de f, l’endomorphisme de V, la base orthonormée du plan vectoriel.
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[ Baccalauréat C Orléans-Tours juin 1983 \

EXERCICE 1 4 POINTS

On pose : K = ∫2

p 2

1 p x2−1

dx.

1. Soit f la fonction de ]1 ; +∞[ dans R définie par :

f (x)= Log (

x+ √

x2−1 )

.

Calculer la fonction dérivée de f . En déduire la valeur de K.

2. On pose : J = ∫2

p 2

x2−1dx.

Démontrer que :

J = ∫2

p 2

x2 p x2−1

dxK .

Calculer J à l’aide d’une intégration par parties.

EXERCICE 2 4 POINTS

PROBLÈME 12 POINTS

Les parties B et C sont indépendantes de la partie A

On appelle E un espace affine euclidien orienté de dimension 3 associé à un espace

vectoriel V, et (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

un repère orthonormé direct de E.

Partie A

Soit ϕ l’endomorphisme de V défini par :

ϕ

(−→ ı )

= 1

2

−→ ı +

p 6

4

−→

p 6

4

−→ k

ϕ

(−→ ı )

= −

p 6

4

−→ ı +

3

4

−→ +

1

4

−→ k

ϕ

(−→ ı )

=

p 6

4

−→ ı +

1

4

−→ +

3

4

−→ k

1. a. Soit −→ u unélément deVde coordonnées (x ; y ; z) dans la base

(−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

Calculer en fonction de x, y, z les coordonnées x′, y ′, z ′ de ϕ (−→ u )

dans la

même base.

b. Démontrer queϕ est une rotation vectorielle de V dont on précisera l’axe ∆.

2. Soit −→ K le vecteur de V défini par :

−→ K =

p 2

2

(−→ +

−→ k )

.

a. Vérifier que −→ K est un vecteur unitaire de ∆.

b. On pose : −→ I =

−→ ı et

−→ J =

p 2

2

(−→

−→ k )

.

Démontrer que (−→ I ,

−→ J )

est une base orthonormée du plan vectoriel Π

orthogonal à ∆.

On admettra alors que (−→ I ,

−→ J ,

−→ K

)

est une base orthonormée directe de

V.

On choisit d’orienterΠ en convenant que la base (−→ I ,

−→ J )

est directe.

Le baccalauréat de 1983 A. P. M. E. P.

c. On rappelle que :

-Π est globalement invariant par ϕ ;

- l’application ϕ′ deΠ dansΠ telle que, pour tout vecteur −→ u deΠ,

ϕ ′ (−→ u )

= ϕ (−→ u )

est une rotation de Π. Donner une mesure de l’angle de

ϕ ′.

3. m étant un réel, on définit l’application affine fm de E, d’endomorphisme as-

sociéϕ, telle que l’imagedeO soit le point de coordonnées :

(

0 ; m2−4

4 ; m+2

4

)

.

Calculer les valeurs dem pour lesquelles fm est une rotation affine. Détermi- ner dans chaque cas l’axe de la rotation par un point et un vecteur directeur.

Partie B

Soit P unplan affine euclidienorienté admettant le repère orthonormédirect (

O ; −→ I ,

−→ J )

,

repère qui sera noté R.

1. On appelle F la fonction numérique, de variable réelle, définie par :

F (x)= x p 3+

4x2−1.

Soit (C) sa courbe représentative dans P, rapporté à R.

a. Étudier les variations de la fonction F .

b. Démontrer que (C) admet deux asymptotes que l’on déterminera.

c. Étudier l’existence de tangentes à la courbe (C) aux points d’abscisses 1

2

et − 1

2 .

d. Calculer l’abscisse dupoint d’intersection de (C) et de l’axe des abscisses. Construire la courbe (C).

2. Soit (C′) la courbe symétrique de la courbe C par rapport à l’origine.

a. Déterminer une équation de C′ dans R, et construire (C′) sur le même graphique que C.

b. Démontrer qu’une équation de la courbe : (H) = C ∪ C′ est :

y2− x2−2 p 3xy +1= 0.

Partie C

Soit g la rotation affine du plan P, de centre O et dont une mesure de l’angle, expri-

mée en radians, est π

3 .

1. Quelle est l’expression analytique de g dans R ?

2. a. Déterminer une équation de (H′), image de (H) par la rotation g .

b. Quelle est la nature de (H′) ?

Préciser le centre, les asymptotes, les foyers de (H′).

3. a. Soit (K) une hyperbole, F1 et F2 ses foyers.

Démontrer que l’image de (K) par une isométrie affine h est une hyper- bole de foyers h (F1) , h (F2).

b. En déduire la nature de (H), les coordonnées de ses foyers. Placer ces points sur la figure du B 2.

Orléans-Tours 2 juin 1983

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