L'analyse numérique – exercices d'algèbre – 3, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

L'analyse numérique – exercices d'algèbre – 3, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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L'analyse numérique – exercices d'algèbre 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La similitude directe de centre, l’ordre des numéros obtenus, l'approximation décimale.
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[ Baccalauréat C Limoges juin 1983 \

EXERCICE 1 4 POINTS

ABCD est un quadrilatère et a un complexe de module r et d’argument θ.

a, b, c, d représentent les affixes de A, B, C et D dans un plan affine euclidien muni

d’un repère orthonormé direct.

La similitude directe de centre A, de rapport r et d’angle θ transforme B en Q

La similitude directe de centre B, de rapport r et d’angle θ transforme C en M

La similitude directe de centre C, de rapport r et d’angle θ transforme D en N

La similitude directe de centre D, de rapport r et d’angle θ transforme A en P.

On appellera q, m, n et p les affixes de Q, M, N et P.

1. Déterminer q en fonction de α, a et b.

2. a. Montrer que : MNPQ est un parallélogramme équivaut à n+q = m +p

b. Endéduire queMNPQest unparallélogrammeéquivaut àα = 1

2 ouABCD

est un parallélogramme.

3. On suppose que ABCD est un parallélogramme et que α = 1+ i 2

. En déduire

que MNPQ est un carré.

EXERCICE 2 4 POINTS

Une urne contient vingt jetons indiscernables au toucher. Cinq jetons portent le nu-

méro 9, deux jetons le numéro 8, six jetons le numéro 3 et sept jetons le numéro 1.

Lorsqu’on tire au hasard un jeton dans l’urne, tous ont la même probabilité d’être

obtenus.

1. On tire successivement quatre jetons dans l’urne, sans les remettre après chaque tirage. Ennotant dans l’ordre les numéros obtenus, onobtient ainsi un nombre

de quatre chiffres (le chiffre des milliers étant obtenu au premier tirage, le

chiffre des centaines au second, le chiffre des dizaines au troisième et le chiffre

des unités au quatrième tirage). Quelle est la probabilité :

a. d’obtenir le nombre 1983 ?

b. d’obtenir un nombre pair ?

2. On procède comme dans la question précédente, mais on remet chaque jeton dans l’ume après l’avoir tiré et noté son numéro. Quelle est la probabilité :

a. d’obtenir le nombre 1983 ?

b. d’obtenir un nombre divisible par 9 et ne comportant pas le chiffre 9 ?

(On donnera tous les résultats sous forme de fraction irréductible, puis

une approximationdécimale comportant quatre chiffres après la virgule.)

PROBLÈME 12 POINTS

Dans tout le problème, a est un réel strictement positif donné et f une application

de R⋆+ dans R. On se propose de résoudre pour chaque x deR⋆+, l’équation ; f (y)= f (x)+ f (a) d’in-

connue y dans R⋆+, 2 et d’étudier l’application g : R⋆+ → R

x 7−→ y quand elle est

définie.

Partie A

Le baccalauréat de 1983 A. P. M. E. P.

1. Calculer y lorsque f est successivement f1, f2, f3 définies respectivement par

f1(x)= x, f2(x)= 1

x , f3(x)= Log x.

2. Soit g1 : R

+ → R x 7−→

x +a 2

g2 : R ⋆ + → R

x 7−→ 2ax

x +a

g3 : R ⋆

+ → R x 7−→

p x

.

On note C1, C2 et C3 leurs courbes représentatives respectives.

Tracer, sur un même graphique, ces trois courbes en précisant pour chacune

d’elles, la tangente au point d’abscisse a.

Justifier leurs positions relatives.

Partie B

Dans cette partie f (x)= x2.

1. Définir la fonction g associée (on ne demande pas l’étude de cette fonction).

2. Montrer que la représentation graphique C de g , dans un repère orthonormé est une partie d’une conique Γ dont on précisera les axes, les sommets, les

asymptotes.

3. Tracer la conique Γ et la courbe C en précisant sa tangente au point d’abscisse a.

Partie C

Dans cette partie, f (x)= ex .

1. Définir la fonction g qui sera notée ici ga et étudier ses variations.

2. Montrer que la droite d’équation y = x −Log2 est asymptote à la représenta- tion graphique Ca de ga .

Préciser la position de la courbe par rapport à cette asymptote.

3. Donner une équation de la tangente à Ca au point d’abscisse a. Construire Ca

4. Si a et b sont deux réels strictement positifs, montrer qu’il existe une transla- tion qui transforme Ca en Cb .

Partie D

Dans cette partie f est une fonction continue et strictement monotone sur R⋆+

1. Soit a ∈ R⋆+. Montrer que quel que soit x ∈ R⋆+ l’équation f (y) = f (x)+ f (a)

2 a

une solution unique y = g (x) appartenant à l’intervalle d’extrémités a et x. Calculer g (a).

2. On suppose f dérivable en a et f ′(a) 6= 0. Montrer que g est dérivable en a et calculer g ′(a).

Limoges 2 juin 1983

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