L'analyse numérique – exercices d'algèbre – 5, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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L'analyse numérique – exercices d'algèbre 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la courbe représentative de f, l'espace vectoriel, l’endomorphisme de E.
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[ Baccalauréat C Montpellier juin 1983 \

EXERCICE 1

Un forain a construit un appareil de jeu contenant six boules blanches et trois boules rouges. Lorsqu’on introduit un jeton dans l’appareil, trois boules tombent dans un panier. On traitera l’exercice en admettant que toutes les boules ont lamême probabilité de tomber dans le panier. Si les trois boules obtenues sont rouges, le joueur gagne un lot de 100 francs. Si deux des boules obtenues sont rouges, le joueur gagne un lot de 15 francs. Si une des trois boules est rouge, le joueur gagne un lot de 5 francs. Si les trois boules sont blanches, le joueur ne gagne rien. Le prix du jeton est fixé à 8 francs.

1. La variable aléatoire X désignant la valeur du lot gagné par le joueur, détermi- ner la loi de probabilité de X . Calculer l’espérance mathématique de X .

En déduire le gain moyen du forain.

2. L’appareil ne s’avérant pas suffisamment rentable, le forain envisage deux so- lutions : augmenter de 1 franc le prix du jeton, ou bien ajouter une boule blanche à l’intérieur de l’appareil. Quelle est la solution la plus rentable pour le forain ?

EXERCICE 2

Soit f la fonction numérique définie comme suit :

06 x 6 2 : f (x)= ex 2−3x+2

x > 2 : f (x)= x−1− 1

log(x−2) .

1. Quel est l’ensemble de définition de f ? En quels points f est-elle continue ? En quels points f est-elle dérivable ?

2. Étudier les variations de f . Construire la courbe représentative de f .

3. Montrer qu’il existe une bijection g de [ 3 2 ; 2

]

sur [

e− 1 4 ; 1

]

telle que :

x ∈ [

3

2 ; 2

]

, g (x)= f (x).

Calculer g−1(y) pour tout y ∈ [

e− 1 4 ; 1

]

.

PROBLÈME

Partie A

Soit −→ E 3 un espace vectoriel de dimension 3 et

(−→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

une base de −→ E 3.

On définit une forme bilinéaire symétrique ϕ sur −→ E 3 de la façon suivante :

si −→ u 1 = x1

−→ i + y1

−→ j + z1

−→ k et

−→ u 2 = x2

−→ i + y2

−→ j + z2

−→ k ,

ϕ (−→ u 1,

−→ u 2

)

= 2x1x2+2y1y2+ z1z2+ x1y2+ x2y1+ y1z2+ y2z1.

Le baccalauréat de 1983 A. P. M. E. P.

1. a. Prouver que ∀ −→ u

−→ E 3 − {

−→ 0 }, ϕ(

−→ u ,

−→ u ) > 0. (Ainsi ϕ définit un produit

scalaire sur −→ E 3).

Dans toute la suite du problème, les termes orthonormé, orthogonal, unitaire, . . .s’entendent eu sens de ϕ.

b. Calculer −→ i ·

−→ i ,

−→ j ·

−→ j ,

−→ k ·

−→ k ,

−→ i ·

−→ j ,

−→ j ·

−→ k ,

−→ i ·

−→ k .

2. Soit −→ I =

−→ i

−→ j +

−→ k .

a. Montrer que −→ I est un vecteur unitaire.

b. Soit −→ D la droite vectorielle de base (

−→ I ). Quelle est la nature de l’ortho-

gonale de −→ D ? En donner une équation (on notera

−→ D ⊥ l’orthogonal de

−→ D ).

c. Montrer que (−→ J ,

−→ K

)

où −→ J =

−→ j

−→ k et

−→ K =

−→ k , est une base orthonormée

de −→ D ⊥. En déduire que

(−→ I ,

−→ J ,

−→ K

)

est une base orthonormée de −→ E 3.

Partie B

Soient a et b deux réels non tous deux nuls, λ = p a2+b2 et Fa, b l’endomorphisme

de −→ E 3 défini par :

Fa, b

(−→ i

)

= λ −→ i + (aλ)

−→ j + (ba+λ)

−→ k ,

Fa, b

(−→ j

)

= (ab) −→ j +2b

−→ k ,

Fa, b

(−→ k

)

= −b −→ j + (a+b)

−→ k .

1. Montrer que Fa, b est bijectif.

2. Déterminer Fa, b (−→ I

)

.

3. Déterminer Fa, b (−→ J

)

et Fa, b (−→ K

)

. En déduire Fa, b (−→ D

)

= −→ D ⊥. SoitGa, b l’en-

domorphisme de −→ D ⊥ tel que

∀ −→ u

−→ D ⊥, Ga, b

(−→ u

)

= Fa, b( −→ u ).

Montrer que dans la base ( −→ I ,

−→ J ) la matrice deGa, b est

(

a b b a

)

.

4. Nature et caractérisation de F1, 0, de F−1, 0 et de F0, 1.

5. Quelle relation doivent vérifier a et b pour que Fa, b soit une isométrie ?

6. Nature et caractérisation de 1

λ Fa, b .

Partie C

Soit (

O, −→ I ,

−→ J ,

−→ K

)

un repère orthonormé direct d’un espace affine euclidien E3 as-

socié à −→ E 3.

On désigne par f l’application affine de E3 dans E3 ayant pour application linéaire associée F0,

p 2 et laissant le pointO invariant.

Soit E l’ellipse du plan de repère (O, −→ J ,

−→ K ) ayant pour équation dans le repère

(O, −→ J ,

−→ K ) :

y2

2 + z2 = 1.

Préciser grand axe, petit axe, foyers, et sommets de E . Montrer que E ′ = f (E ) est une ellipse dont on indiquera le grand axe, le petit axe, les foyers et sommets. Construire E et E ′ sur une même figure.

Baccalauréat C Montpellier 2 juin 1983

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