L'analyse numérique – exercices d'algèbre – 7, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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L'analyse numérique – exercices d'algèbre 7 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'espace vectoriel euclidien, l'isométrie vectorielle.
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[ Baccalauréat C Nancy-Metz juin 1983 \

EXERCICE 1 3 POINTS

Soit E un espace vectoriel euclidien rapporté à une base orthonorméedirecte (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

et soit E un espace affine associé de repère (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

1. On définit l’endomorphisme ϕ de E par

ϕ (

−→ ı )

= − 1

3

−→ ı +

2

3

−→ +

2

3

−→ k

ϕ (

−→ )

= 2

3

−→ ı

1

3

−→ +

2

3

−→ k

ϕ (−→ k )

= 2

3

−→ ı +

2

3

−→

1

3

−→ k

Montrer que ϕ est une isométrie vectorielle. Préciser la nature de ϕ et les élé-

ments géométriques qui la caractérisent.

2. Démontrer que l’application affine f de E dans E qui admet ϕ comme endo- morphisme associé et qui transforme O en O′ de coordonnées (−1 ; 1 ; 1) est

un vissage dont on déterminera l’axe, l’angle et le vecteur.

EXERCICE 2 3 POINTS

PROBLÈME 3 POINTS

Dans ce problèmeP désigne un plan affine euclidienmuni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

et Log x désigne le logarithme népérien de x.

Partie A

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par

f (x)= x+ 1−ex

1+ex .

1. Après avoir montré que f est une fonction impaire, étudier les variations de f et construire, dans P , sa courbe représentative notée C.

2. Vérifier, pour tout x réel, la relation

2 f ′(x)−1= [ f (x)− x]2.

3. Déterminer les primitives de la fonction h : x 7−→ 1

1+ex (

on pourra remarquer que1− ex

1+ex =

1

1+ex

)

.

Si λ est un nombre réel positif, calculer l’aire A (λ) du domaine limité par la

courbe C et les droites dont les équations respectives sont y = x −1, x = 0 et

x =λ.

Quelle est la limite de cette aire lorsqueλ tend vers+∞ ? (Il est conseillé d’écrire

A (λ) sous la forme d’un logarithme unique).

Partie B

Le baccalauréat de 1983 A. P. M. E. P.

Pour tout nombre réel a, on définit les applications Sa et Ta de P dans lui-même

comme suit : à un point M de coordonnées (x ; y) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

on as-

socie les points Sa(M) de coordonnées (−x+2a,−y +2a) et Ta(M) de coordonnées

(x+a ; y +a).

On notera G l’ensemble des applications Sa et Ta pour tout a réel.

1. Déterminer la nature géométrique des transformations Sa et Ta .

2. Montrer que pour tout couple (a ; b) de nombres réels, les applications com- posées Sa Sb , Ta Tb , Sa Tb et Ta Tb appartiennent à G et que G est un

sous-groupe du groupe des bijections affines deP pour la loi de composition.

Est-ce un sous-groupe commutatif ? Montrer que l’on a, pour tout a réel,

(1)Sa = Ta S0 ◦T −1 a .

3. Dans cette question C désigne la courbe construite dans la partie A du pro- blème.

On note Ca l’image par Ta de la courbe C. Utiliser la relation (1) pour montrer

que I de coordonnées (a ; a) est centre de symétrie de Ca . Montrer qu’il existe

une fonction fa telle que l’équation de Ca soit y = fa (x). Vérifier que

fa (x)= a+ f (xa).

Partie C

Notons E l’ensemble des fonctions g définies et dérivables sur R telles que

x ∈R, 2g ′(x)−1= [g (x)− x]2.

1. Montrer que E n’est pas vide.Montrer que les éléments de E sont des fonctions croissantes et deux fois dérivables.

Calculer g ′′(x) en fonction de x et de g (x). Quelles sont les valeurs possibles

de la fonction dérivée g ′ en un point x0 tel que g ′′ (x0)= 0 ?

2. Caractériser les fonctions dont la dérivée seconde est identiquement nulle et qui appartiennent à E. Montrer que les fonctions fa définies par

fa (x)= a+ f (xa), où f est la fonction introduite dans la première question

du problème et a un nombre réel, sont des éléments de E.

3. Soit g un élément de E vérifiant

x ∈R, [g (x)− x]2 6= 1.

Montrer que la quantité g (x)− x−1

g (x)− x+1 garde un signe constant quand x décritR

et que la fonction

G : x 7−→ Log

g (x)− x−1

g (x)− x+1

est dérivable sur R.

Calculer la dérivéeG ′ et en déduire qu’il existe une constante réelle c telle que

x ∈R, G(x)= x+c.

Montrer qu’il existe alors un nombre réel k non nul tel que 1+k

x ∈R, g (x)= x+ 1+kex

1−kex .

Nancy-Metz 2 juin 1983

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