L'analyse numérique – exercices d'algèbre – 9, Exercices de Algèbre linéaire et analyse numérique

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L'analyse numérique – exercices d'algèbre 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan affine euclidien (P), la fonction de R dans R, le sous-espace vectoriel de E.
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[ Baccalauréat C Nice juin 1983 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Dans le plan affine euclidien (P), ondonneun triangle équilatéral ABC tel que ∥

−−→ AB

∥= ∥

−−→ OC

∥=

−−→ CA

∥= 1.

Soit A′ le milieu du segment [BC].

1. Montrer que le milieu G du segment [AA′] est le barycentre de A, B, C, respec- tivement affectés des coefficients 2, 1, 1.

2. Soit h l’application de (P) dans (P) qui, à tout point M de (P), associe le point M ′ de (P) tel que :

−−−−→ MM ′ = 2

−−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC .

Montrer que h est une homothétie affine dont on précisera le centre et le rap- port.

Calculer 2GA2 + GB2 + GC2.

Trouver l’ensemble des points Nde (P) tels que :

2NA2+NB2+NC2 = 2.

EXERCICE 2 4 POINTS

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

SoitU la fonction de R dans R définie par :

x ∈R, U (x)= x2e−x 2 .

1. Étudier U et tracer la courbe représentative deU dans le plan rapporté à un

repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité : 6 cm).

2. Soit r la restriction deU à l’intervalle J = [1 ; +∞[.

a. Montrer que r est une bijection de I sur l’intervalle J =

]

0 ; 1

e

]

.

b. Ondésigne par r−1 la bijection réciproque de r (on n’explicitera pas r−1).

Représenter graphiquement r−1 dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

c. Étudier la dérivabilité de r−1 sur J.

Partie B

Dans toute la suite, E désigne l’espace vectoriel des fonctions continues de R dans R muni de l’addition des fonctions et de la multiplication des fonctions par un réel. On note ϕ l’application de E dans E qui, à f élément de E, asssocie F =ϕ( f ) définie par :

x ∈R, F (x)= ∫x

0 f (t)e−t

2 dt .

Le baccalauréat de 1983 A. P. M. E. P.

1. Montrer que ϕ est un endomorphisme de E.

2. Montrer que, pour toute fonction f de E, F est dérivable sur R et en 0 ; expri- mer F ′(x) en fonction de f (x).

En déduire que ϕ est injectif.

3. a. Soit g une fonction de E, qui s’annule en 0, dérivable sur R à dérivée continue. On désigne par h la fonction définie sur R par :

x ∈R, h(x)= g ′(x)ex 2

Montrer que ϕ(h) = g ; en utilisant les résultats des questions 2. et 3. a, caractériser l’image de ϕ.

b. Déterminer les antécédents des fonctionsU , V ,W définies sur R par

x ∈R, U (x)= x2e−x 2 ; V (x)= e−x

2 ; W (x)= xe−x

2 .

4. Soit P2 le sous-espace vectoriel de E dont une base est (

f0, f1, f2 )

; f0, f1, f2 sont définies par :

x ∈R, f0(x)= 1; f1(x)= x; f2(x)= x 2.

a. Montrer que (

f0, 2 f1, f0−2 f2 )

est une base de P2

b. En déduire que (

ϕ (

f0 )

, V , W )

est une famille libre de ϕ (P2). Montrer que

(

ϕ (

f0 )

, V , W )

est une base de P2 (On ne calculera pas ϕ (

f0 )

.

Partie C

Pour n entier naturel et x réel, on pose :

In (x)= ∫x

0 tne−t

2 dt pourn> 1et I0 =

x

0 e−t

2 dt .

1. a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout entier su- périeur ou égal à 2 et tout réel x on a l’égalité :

(n−1)In−2(x)−2In (x)= x n−1e−x

2 .

b. Calculer I1(x) ; en déduire I3(x).

c. Calculer I2(x) en fonction de I0(x) que l’on ne calculera pas.

2. On désire prouver qu’il existe un réel A tel que :

x ∈R+, 06 I0(x)6 A.

a. Montrer que la fonction, définie sur R⋆ + par x : 7−→ I0(x) est croissante et

positive.

b. Montrer que : I0(x)− I0(1)= ∫x

1 e−t

2 dt

c. Montrer que :

t ∈ [1 ; +∞[, e−t 2 6 e−t .

En déduire que :

x ∈ [1 ; +∞[, I0(x)− I0(1)6 1

e −e−x 6

1

e .

Nice 2 juin 1983

Le baccalauréat de 1983 A. P. M. E. P.

d. Trouver alors un réel A tel que :

x R⋆+ , I0(x)6 A.

3. Déduire des questions 1. c et 2. d que l’aire de la portion de plan comprise entre les droites d’équations respectives x = 0, x = λ (λ > 0), l’axe des x et la courbe représentative de la fonction U étudiée au A, est majorée par une constante indépendante de λ.

Nice 3 juin 1983

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