L’écriture complexe de la similitude directe S – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 11, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

L’écriture complexe de la similitude directe S – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 11, Exercices de Géométrie Algorithmique

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L’écriture complexe de la similitude directe S– travaux pratiques de géométrie algorithmique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB]. la rotation de centre I et d’an...
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[ Baccalauréat C juin 1990 \ Centres étrangers II 1

EXERCICE 1 4 points

(A, B, C) est un triangle, on pose BC = a, AC = b, AB = c.

A’ est le milieu du segment [BC], B’ celui de [AC], C’ celui de [AB].

Soit G l’isobarycentre du triangle (A, B, C).

1. Montrer que pour tout point M du plan,

MA2+MB2+MC2 = 3MG2+ a2+b2+c2

3 .

2. En calculant de deux façons différentes ( −−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC )2 établir que :

2 −−→ MA ·

−−−→ MA′ +

−−→ MB ·

−−→ MC = 3MG2−

a2+b2+c2

3 .

3. On considère les points communs aux cercles de diamètres [AA′] et [BC],mon- trer que, lorsqu’ils existent, ils appartiennent à un cercle de centre G dont on

donnera le rayon en fonction de a, b et c.

EXERCICE 2 4 points

On considère la suite u définie par :

n ∈N∗, un = 1

n

[

n

k=1

ln(n+k)

]

− ln(n).

(ln désigne le logarithme népérien de base e).

1. Démontrer que un = 1

n

[

n

k=1

ln

(

1+ k

n

)

]

.

2. a. Pour k entier, compris entre 0 et n−1, démontrer que :

1

n ln

(

1+ k

n

)

6

∫1+ k+1n

1+ kn

ln(x)dx 6 1

n ln

(

1+ k +1

n

)

.

b. En déduire que :

un − 1

n ln(2)6

∫2

1 ln(x)dx 6 un .

3. Déduire de ce qui précède un encadrement de un et la limite de un quand n tend vers +∞.

PROBLÈME 12 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v )

(unité : 2 cm).

A est le point d’affixe 2i.

D est la droite d’équation y = 2.

Unpoint P décrivant la droiteD, on se propose de construire l’ensemble S des points

M et M’ de la droite (OP) tels que PM = PM′ = PA.

(On appelle M le point de S situé entre O et P.)

On note Θ= (

−→ u ,

−−→ OP

)

avecΘ ∈]0 ; π[.

1. Portugal, Grèce, Tunisie, Abou Dhabi

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

I. Placer le repère (

O, −→ u ,

−→ v )

, la droite D et le point A (fig. 1).

1. Construire les points M et M′ pour Θ= π

6 , Θ=

π

4 , Θ=

π

2 , Θ=

3π

4 . 6’ 4’ 2’

4

2. L’ensemble S contient-il A ? Contient-il d’autres points de D ?

3. Montrer que (OA) est axe de symétrie de S.

4. Soit ∆ la médiatrice de [OA]. Montrer que si M appartient à S et à ∆ le point P d’intersection de (OM) avec D vérifie PO = 2PA.

En déduire la construction sur la figure 1, de S ∩∆ puis de 4 points de S.

II. 1. Montrer que l’affixe zp du point P est :

zp = 2 cos(Θ)

sin(Θ) .

2. Calculer les distances AP puis OM′ en fonction deΘ.

En déduire l’affixe z ′ du point M′ puis l’affixe z du point M.

3. a. Vérifier que l’ensemble des points M′ est la courbe paramétrée :

S1

x1(Θ) = 2 1+|cos(Θ)|

sin(Θ) cos(Θ)

y1(Θ) = 2(1+|cos(Θ)|) Θ ∈]0 ; π[.

b. Vérifier que l’ensemble des points M est la courbe paramétrée :

S2

x2(Θ) = 2 1−|cos(Θ)|

sin(Θ) cos(Θ)

y2(Θ) = 2(1−|cos(Θ)|) Θ ∈]0 ; π[.

III. On considère le domaine D = [−π ; 0[∪ ]0 ; π] de la droite réelle et la courbe paramétrée S ′ formée des points de coordonnées

(

x(Θ) ; y(Θ) )

avec

x(Θ) = 2 1+cos(Θ)

sin(Θ) cos(Θ) si |Θ| 6=π

x(π) = x(−π)= 0

y(Θ) = 2(1+cos(Θ))

.

1. Comparer le point de coordonnées (x(Θ) ; y(Θ) et celui de coordonnées (x(Θ) ; y(Θ)). Que peut-on en conclu e pour la courbe S ′ ?

2. Calculer la limite lorsque Θ tend vers π par valeurs inférieures de x(Θ)

et la limite lorsque h tend vers 0 par valeurs supérieures de x(πh)

h ,

donner la valeur de y ′(π).

Que peut-on en déduire ?

Calculer la limite lorsque Θ tend vers 0 par valeurs positives de x(Θ), de

y(Θ).

3. a. Calculer, pour |Θ| 6= π la dérivée de la fonction x et montrer qu’elle peut se mettre sous la forme :

2 cos2(Θ)−cos(Θ)−1

1−cos(Θ) .

b. Donner pour Θ ∈]0 ; π] le tableau des variations des fonctions x et y .

c. Préciser pourΘ ∈]0 ; π] l’intersectionde la courbe S ′ avec l’axe (

O, −→ v )

et la tangente à la courbe en ce point.

d. Préciser pourΘ ∈]0 ; π] le point où la courbe S ′ admet une tangente

parallèle à −→ v .

Centres étrangers II 2 juin 1990

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

4. Montrer que le point (

x(Θ) ; y(Θ) )

représente soit un point M soit un

point M′ ; préciser cette correspondance pourΘ ∈D.

5. Représenter graphiquement la courbe S ′ sur la figure 1 en indiquant les tangentes qui ont été calculées.

Centres étrangers II 3 juin 1990

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