L’ensemble des nombres réels - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

L’ensemble des nombres réels - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

PDF (35.6 KB)
2 pages
687Numéro de visites
Description
Exercices de mathématique sur l’ensemble des nombres réels. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'entier naturel, les deux fonctions de la variable t.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
GrenobleCjuin1971.dvi

[ Baccalauréat C Grenoble juin 1971 \

EXERCICE 1

R étant l’ensemble des nombres réels, on désigne par f l’application de R dans R définie par

{

f (x) = xe 1 x pour x < 0,

f (x) = 0 pour x > 0.

1. Montrer que la fonction f est continue pour x = 0.

2. f admet-elle une dérivée pour x = 0 ?

EXERCICE 2

n étant un entier naturel, on pose

An = 2 n +22n +23n .

Montrer que, pour tout n, An+3 est congru à An modulo 7. En déduire les entiers n tels que An soit divisible par 7. Les nombres qui, dans le système de numération à base deux, s’écrivent

1110,

1 010100,

1 001001000

sont-ils divisibles par 7 ?

PROBLÈME

On considère les deux fonctions de la variable t définies par

a(t)= et +e−t

2 et b(t)=

et −e−t

2

où e désigne la base des logarithmes népériens.

1. Démontrer les identités suivantes :

a2(t)−b2(t) = 1, a2(t)+b2(t) = a(2t) et 2a(t).b(t) = b(2t).

2. t est fixé. - Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axes

x′Ox, y ′Oy , on définit la transformation ponctuelle Tt qui, à tout point M de coordonnées (x ; y), fait correspondre le point M ′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

tel que

x′ = a(t)x+b(t)y, y ′ = b(t)x+a(t)y.

a. Démontrer que la transformationTt est une applicationbijective duplan sur lui-même.

Exprimer x et y en fonction de x′ et de y ′.

b. Déterminer les points doubles de cette transformation.

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

c. Soit M ′ le transformé de M par Tt et M ′′ le transformé de M ′ par Tt . Exprimer les coordonnées (x′′ ; y ′′) de M ′′ en fonction des coordonnées (x ; y) deM .

3. M ′ étant le transformé deM par Tt démontrer que, siM ′ est en outre l’homo- logue de M dans une homothétie de centre O et de rapport λ, λ est solution de l’équation λ2−2λa(t)+1= 0.

Calculer les valeurs de λ.

En déduire que M et M ′ appartiennent à l’une ou l’autre de deux droites, que l’on déterminera.

4. Soit (D) la droite d’équation ux+ vy +h = 0. Montrer que l’homologue de (D) par Tt est une droite (D′).

Quelles sont les droites (D) qui sont parallèles à leur homologue (D′) ?

5. Soit A le point de coordonnées (+ 1 ; 0) et A′ le transformé de Apar Tt . Détermi-

ner les coordonnées (α ; β) de A′ dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

et les coordonnées

de A′ dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

déduit du précédent par la rotation de centre

O et d’angle (

π

4

)

.

6. On considère le point, P, dont les coordonnées dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

sont

X = e−t et Y = et .

Par quelle transformation se déduit-il du point A′ ?

En supposant que t désigne le temps, construire la trajectoire (C) du point P .

On désigne par −→ V et

−→ Γ les vecteurs vitesse et accélération du point P .

Déterminer l’ensemble des points, S, tels que −−→ PS =

−→ V . Comment peut-on dé-

duire de (C) l’ensemble des points, G, tels que −−→ PG =

−→ Γ ? Écrire l’équation de

cet ensemble.

r étant une longueur donnée, former l’équation permettant de déterminer à quelle date le mobile se trouve à une distance r de l’origine O.

Pour certaines valeurs de r il existe deux dates possibles, t1 et t2.

Quelle relation, indépendante de r , existe-t-il entre t1 et t2 ?

Résoudre l’équation dans le cas où r = p 6.

Grenoble 2 juin 1971

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome