L’ensemble des nombres réels - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématique sur l’ensemble des nombres réels. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'entier naturel, les deux fonctions de la variable t.
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[ Baccalauréat C Grenoble juin 1971 \

EXERCICE 1

R étant l’ensemble des nombres réels, on désigne par f l’application de R dans R définie par

{

f (x) = xe 1 x pour x < 0,

f (x) = 0 pour x > 0.

1. Montrer que la fonction f est continue pour x = 0.

2. f admet-elle une dérivée pour x = 0 ?

EXERCICE 2

n étant un entier naturel, on pose

An = 2 n +22n +23n .

Montrer que, pour tout n, An+3 est congru à An modulo 7. En déduire les entiers n tels que An soit divisible par 7. Les nombres qui, dans le système de numération à base deux, s’écrivent

1110,

1 010100,

1 001001000

sont-ils divisibles par 7 ?

PROBLÈME

On considère les deux fonctions de la variable t définies par

a(t)= et +e−t

2 et b(t)=

et −e−t

2

où e désigne la base des logarithmes népériens.

1. Démontrer les identités suivantes :

a2(t)−b2(t) = 1, a2(t)+b2(t) = a(2t) et 2a(t).b(t) = b(2t).

2. t est fixé. - Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axes

x′Ox, y ′Oy , on définit la transformation ponctuelle Tt qui, à tout point M de coordonnées (x ; y), fait correspondre le point M ′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

tel que

x′ = a(t)x+b(t)y, y ′ = b(t)x+a(t)y.

a. Démontrer que la transformationTt est une applicationbijective duplan sur lui-même.

Exprimer x et y en fonction de x′ et de y ′.

b. Déterminer les points doubles de cette transformation.

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

c. Soit M ′ le transformé de M par Tt et M ′′ le transformé de M ′ par Tt . Exprimer les coordonnées (x′′ ; y ′′) de M ′′ en fonction des coordonnées (x ; y) deM .

3. M ′ étant le transformé deM par Tt démontrer que, siM ′ est en outre l’homo- logue de M dans une homothétie de centre O et de rapport λ, λ est solution de l’équation λ2−2λa(t)+1= 0.

Calculer les valeurs de λ.

En déduire que M et M ′ appartiennent à l’une ou l’autre de deux droites, que l’on déterminera.

4. Soit (D) la droite d’équation ux+ vy +h = 0. Montrer que l’homologue de (D) par Tt est une droite (D′).

Quelles sont les droites (D) qui sont parallèles à leur homologue (D′) ?

5. Soit A le point de coordonnées (+ 1 ; 0) et A′ le transformé de Apar Tt . Détermi-

ner les coordonnées (α ; β) de A′ dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

et les coordonnées

de A′ dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

déduit du précédent par la rotation de centre

O et d’angle (

π

4

)

.

6. On considère le point, P, dont les coordonnées dans le repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

sont

X = e−t et Y = et .

Par quelle transformation se déduit-il du point A′ ?

En supposant que t désigne le temps, construire la trajectoire (C) du point P .

On désigne par −→ V et

−→ Γ les vecteurs vitesse et accélération du point P .

Déterminer l’ensemble des points, S, tels que −−→ PS =

−→ V . Comment peut-on dé-

duire de (C) l’ensemble des points, G, tels que −−→ PG =

−→ Γ ? Écrire l’équation de

cet ensemble.

r étant une longueur donnée, former l’équation permettant de déterminer à quelle date le mobile se trouve à une distance r de l’origine O.

Pour certaines valeurs de r il existe deux dates possibles, t1 et t2.

Quelle relation, indépendante de r , existe-t-il entre t1 et t2 ?

Résoudre l’équation dans le cas où r = p 6.

Grenoble 2 juin 1971

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