L’équation différentielle du second ordre - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

L’équation différentielle du second ordre - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématique sur l’équation différentielle du second ordre. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan orienté, les vecteurs unitaires, la nature de la courbe.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Dijon septembre 1971 \

EXERCICE 1

On donne dans un plan orienté deux points A et B. M étant un point quelconque du plan, distinct de A, on construit le carré APMQ de

diagonale AM , tel que (

−−→

AP , −−→

AQ )

=

π

2 (mod 2π).

Déterminer les ensembles des points M , des points P et des pointsQ tels que

BP2+BQ2 = 2AM2.

EXERCICE 2

Soit l’équation différentielle du second ordre

(E ) : y ′′+2y ′+2y = 0.

Montrer que, pour qu’une fonction réelle y de la variable réelle x soit solution de (E ), il faut et il suffit que la fonction z définie par y = e−xz soit solution d’une équation différentielle du second ordre (E1). Résoudre (E1) et en déduire la solution générale de (E ).

PROBLÈME

Soit (Π) un plan orienté rapporté à un repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

d’axes Ox et

Oy , (E) l’ensemble des vecteurs libres de (Π). À tout couple ordonné (

−→

V1 , −→

V2

)

d’élé-

ments de (E) on associe le nombre réel noté −→

V1 ∆ −→

V2 défini par

−→

V1 ∆ −→

V2 = ∣

−→

V1

∣ ·

−→

V2

∣sin (

−→

V1 , −→

V2

)

.

1. Démontrer que, quels que soient les nombres réels λ et µ,

(

λ −→

V1

)

(

µ −→

V2

)

= (λµ) (

−→

V1 ∆ −→

V2

)

Soit −→

u1 et −→

u2 deux vecteurs unitaires, tels que

(Ox, −→

u1 )= θ1 (mod 2π) et (Ox, −→

u2 )= θ2 (mod 2π).

Calculer −→

u1 ∆ −→

u2 en fonction de θ1 et de θ2.

Démontrer que, si (X1 ; Y1) et (X2 ; Y2) sont les composantes respectives des

vecteurs −→

V1 et −→

V1 sur la base (

−→

ı , −→

)

, on a

−→

V1 ∆ −→

V2 = Xl1Y2−X2Y1.

2. On donne dans le plan (Π) les points M1 (X1 ; Y1) , M2(X2 ; Y2), M3 (X3 ; Y3) et

I (x ; y). Soit −→

V1 , −→

V2 et −→

V3 les vecteurs libres de (Π) ayant pour représentants

respectifs les vecteurs −−−→

IM1 , −−−→

IM2 et −−−→

IM3 .

Calculer, en fonction de x, y,X1 , Y1,X2,Y2,X3 et Y3 la somme

S = 1

2

(

−→

V1 ∆ −→

V2 + −→

V2 ∆ −→

V3 + −→

V3 ∆ −→

V1

)

.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Le nombre réel S est indépendant du point I . On l’appellera l’aire algébrique du triangle orienté M1M2M3 et on le notera AireM1M2M3.

Démontrer que AireM1M2M3 = 0 si, et seulement si, les points M1,M2,M3 sont alignés.

3. On donne dans le plan (Π) les points B(2 ; 0) et C(0 ; 1).

Soit M(x ; y) un point quelconque de (π), P, Q et R les symétriques respectifs deM par rapport aux droites BC, OC et OB.

Calculer AirePQR en fonction de x et de y . Déterminer l’ensemble des points M du plan (Π) tels que AirePQR =λ, nombre réel donné.

Discuter suivant la valeur de λ. Étudier en particulier le cas λ= 0.

4. Soit (D) et (D ′) les droites de (Π) d’équations respectives y = xtgα et

y =−xtgα (

0<α< π

2

)

, N et N ′ les projections orthogonales du point M(x ; y)

sur (D) et (D ′).

Calculer AireMNN ′ en fonction de x, y et α.

Déterminer l’ensemble (H) des points de (Π) tels que AireMNN ′ = k, nombre réel donné.

Discuter, suivant la valeur de k la nature de la courbe (H) et préciser les élé- ments qui permettent de la définir.

Dijon 2 septembre 1971

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