L’équation différentielle - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Exercices de mathématique sur l’équation différentielle. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'isomorphisme de l’anneau, les éléments inversibles de (D).
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[ Baccalauréat C Abidjan \ juin 1971

EXERCICE 1

On considère l’équation différentielle

(1) y ′+ y = 2x.e−x ,

dans laquelle x est une variable réelle quelconque, y une fonction inconnue de la variable x (qu’il s’agit précisément de déterminer).

1. Montrer que y = e−x est une solution particulière de l’équation sans second membre (c’est-à-dire de y ′+ y = 0).

2. On pose alors y = z.e−x , définissant ainsi une nouvelle fonction z dont la dé- rivée est notée z ′. Calculer y ′ en fonction de x,z et z ′ et former l’équation sa- tisfaite par z ′ en reportant y ′ et y dans (1).

3. En déduire toutes les solutions de (1).

Soit y1 la fonction particulière qui s’annule pour x = 0. Construire la représen- tation graphique de y1 dans un repère orthonormé.

EXERCICE 2

Soit les deux transformations T1 et T2 définies pour tout point du plan par

M(x ; y) T1 7−→ M1

(

x1 ; y1 )

et M(x ; y) T2 7−→ M2

(

x2 ; y2 )

avec

x1 = 1− y,

y1 = x −2 et

x2 = 2x − 3

2 ,

y2 = 2y + 1

2 .

1. Montrer que T1 est une rotation R(ω, θ). (On déterminera ω et θ.)

2. Montrer que T2 est une homothétie, H , de même centre que la rotation.

3. En déduire T1 ◦T2 et T2 ◦T1. Quelle est la nature de ces transformations ?

PROBLÈME

On désigne par R le corps des nombres réels et par (D) l’ensemble R2 des couples (x ; y) de nombres réels muni de l’addition H de la multiplication suivantes :

(x ; y)+ (

x′ ; y ′ )

= (

x + x′ ; y + y ′ )

et

(x ; y). (

x′ ; y ′ )

= (

x.x′ ; x y ′+ y x′ )

.

Partie A

Prouver que (D, +, .) est un anneau commutatif, possédant pour unité l’élément (+ 1 ; 0). Les éléments de (D) seront alors appelés nombres duaux.

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

Partie B

Onnote (D1) [respectivement (D2) l’ensemble des nombres duaux de la forme (x ; 0) [respectivement de la forme (0 ; y)].

1. Trouver que (D1) est un sous-anneau de (D).

2. (D2) est-il un sous-anneau de (D) ?

3. (D) peut-il être un corps ?

4. Prouver que f : x 7−→ (x ; 0) est un isomorphisme de l’anneau R sur (D1).

Partie C

L’isomorphisme de la question B, 4. nous permet, dans la suite du problème, d’iden- tifier (D1) à R, en posant (x ; 0)= x pour tout élément (x ; 0) de (D1).

1. Prouver que tout nombre dual z peut s’écrire d’une manière, et d’une seule, sous la forme

z = x +ǫy,

avec x ∈R, y ∈R et ǫ= (0 ; +1).

2. Étudier les puissances ǫp de ǫ, (

p ∈N⋆ )

.

3. Calculer zn pour n ∈N⋆.

4. Rechercher les éléments inversibles de (D).

Partie D

Soit z = x +ǫy un nombre dual. On pose

z = x ǫy

et l’on définit le symbole |z| en posant |z| = |x|, où le second membre désigne la valeur absolue du réel x.

1. Prouver que z.z = |x|2.

2. Prouver que ∣

z.z ′ ∣

∣= |z|. ∣

z ′ ∣

∣.

3. Prouver que ∣

z + z ′ ∣

∣6 |z|+ ∣

z ′ ∣

∣.

Partie E

Soit z ∈ (D)− (D2). On pose Arg (z)= y

x .

Établir que

Arg (

z.z ′ )

=Arg(z)+Arg (

z ′ )

, z ∉ (D2) et z ′ ∉ (D2) .

Partie F

Si f est une fonction réelle d’une variable réelle, dérivable sur R, on la prolonge à (D) en posant, pour tout z = x +ǫy de (D),

f (z)= f (x)+ǫy f ′(x).

1. Donner les expressions de cosz et de sinz.

2. Calculer cos2 z + sin2 z.

3. Calculer cos (

z + z ′ )

.

4. Calculer sin (

z + z ′ )

.

Abidjan 2 juin 1971

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