L’excentricité, – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 13, Exercices de Géométrie Algorithmique
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Eusebe_S10 April 2014

L’excentricité, – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 13, Exercices de Géométrie Algorithmique

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L’excentricité, – travaux pratiques de géométrie algorithmique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les coordonnées des quatre sommets, les points d’intersection avec l’axe des ordonnées.
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[ Baccalauréat C juin 1990 \ Amiens - Lille - Rouen

EXERCICE 1 4 points

Soit f l’application de C dans lui-même définie par

f (z)= z4− z3 p 2−4z

p 2−16.

1. Trouver les deux réels a et b tels que pour tout nombre complexe z on ait :

f (z)= (

z2+4 )(

z2+az+b )

.

2. En déduire l’ensemble des solutions dans C de l’équation f (z)= 0.

3. Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

les images A, B, C, D des solutions de l’équation précédente, puis montrer que ces points sont sur unmême cercle (C) dont on précisera le centre et le rayon.

EXERCICE 2 5 points

On considère, dans le plan P rapporté au repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

où l’unité

de longueur est 6 cm, les points de coordonnées (x ; y) définies par

x = cosθ

2+cosθ , y =

sinθ

2+ sinθ

avec θ élément de [0 ; 2π].

1. Calculer en fonction de θ la distance Oet la distance de à la droite D d’équation x = 1.

2. En déduire que pour tout réel θ élément de [0 ; 2π], les points appar- tiennent à une même ellipse (E) dont on précisera l’excentricité, le grand axe ainsi que les coordonnées des quatre sommets et des points d’intersection avec l’axe des ordonnées.

3. Tracer l’ellipse (E).

PROBLÈME 11 points

A

Pour tout réel k strictement positif, on considère la fonction numérique fk définie sur ]0 ; +∞[ par

fk (x)= k 2x2−

1

4 − 1

2 lnx.

On appelle (Ck ) la courbe représentative de fk dans le plan rapporté à un repère

orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

où l’unité de longueur est 5 cm.

1. Étudier les variations de fk et dresser son tableau de variations. (On précisera les limites de fk aux bornes de l’ensemble de définition.) ..

2. Soit Mk le point de (Ck ) correspondant au minimum de fk . Déterminer dans

le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

une équation cartésienne de l’ensemble (A) des pointsMk quand k décrit ]0 ; +∞[.

3. Tracer sur une même figure les courbes (A) et (C1) après avoir précisé leur position relative.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

B

Soit f la fonction numérique définie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= 1

4 x2−

1

4 − 1

2 lnx.

1. Tracer sur une nouvelle feuille, la courbe représentative (C ) de f dans le plan

muni d’un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

où l’unité de longueur est 5 cm. (On

pourra utiliser le A. 1.)

2. Soit (Γ) le cercle de centre O de rayon 1 et A le point de coordonnées (0 ; 1).

À tout point M de (C ) d’abscisse a, on associe le point H projeté orthogonal deM sur l’axe des abscisses. La droite (AH) recoupe (Γ) en K .

a. Déterminer les coordonnées de K en fonction de a.

b. Démontrer que la droite (OK ) est parallèle à la tangente en M à (C ).

c. Endéduire unprocédé géométriquepour construire la tangente à la courbe (C ) en un point M donné de cette courbe.

C

Dans cette partie, f désigne toujours la fonction définie au B.

1. On note λ un réel strictement positif.

a. À l’aide d’une intégration par parties calculer

∫1

λ lnx dx,

en déduire la valeur de I (λ)= ∫1

λ f (x)dx.

b. Déterminer la limite I de I (λ) quand λ tend vers zéro par valeurs supé- rieures.

2. Pour n naturel supérieur ou égal à 2, on pose :

Sn = 1

n

p=n

p=1 f

(p

n

)

.

a. En utilisant le sens de variations de f , démontrer que, pour p entier na- turel vérifiant 16 p6 n−1, on a

1

n f

(

p+1

n

)

6

p+1 n

p n

f (x)dx 6 1

n f

(p

n

)

.

b. En déduire que :

Sn − 1

n f

(p

n

)

6 I

(

1

n

)

6 Sn ,

puis que :

I

(

1

n

)

6 Sn 6 I

(

1

n

)

+ 1

n f

(

1

n

)

c. En déduire que :

lim n→+∞

Sn = 1

3 .

Amiens - Lille - Rouen 2 juin 1990

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