L’inéquation - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématique sur l’inéquation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le logarithme de x dans la base a, la construction géométrique de M.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Aix-en-Provence septembre 1971 \

EXERCICE 1

Résoudre l’inéquation

loga (x +1)+ loga(x)< 1

[loga(x) est le logarithme de x dans la base a].

EXERCICE 2

Représenter dans un repère orthonormé l’ensemble des points M , d’affixes z, tels

que z −1

z + i soit imaginaire pur.

(Raisonner sur la signification géométrique des arguments de z −1 et z + i en intro- duisant les points, d’affixes 1 et −i.)

PROBLÈME

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy , l’ellipse (E) est définie par la représentation paramétrique suivante :

a etb réels fixés (0< b < a), t paramètre (06 t < 2π), coordonnées deM de paramètre t x = a cos t et y = b sin t .

1. Montrer que (E) admet une tangente en tout point.

Écrire l’équation de la tangente (D) à (E) au point M de paramètre t (exprimer les coefficients de cette équation en fonction exclusivement de a,b et t).

2. Si t est différent de 0 et de π, calculer les coordonnées des intersections P et Q de (D) avec les tangentes aux sommets du grand axe (qui sont les points de paramètres 0 et π).

Montrer que le cercle de diamètre PQ passe par deux points fixes F et F′.

Quel est l’ensemble des centres de ces cercles quand t varie ?

3. La normale en M [c’est-à-dire la perpendiculaire en M à (D)] coupe x′Ox en un point N (si t est différent de 0 et π).

Dans le cas où (D) coupe également x′Ox en un point T , étudier les birapports

(F, F′,N ,T ) et (M ,T , P, Q).

En déduire une construction géométrique de M quand N est donné. Discuter.

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