L’isobarycentre du triangle – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 10, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

L’isobarycentre du triangle – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 10, Exercices de Géométrie Algorithmique

PDF (37.2 KB)
2 pages
145Numéro de visites
Description
L’isobarycentre du triangle – travaux pratiques de géométrie algorithmique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les points communs aux cercles de diamètres, le repère orthonormé.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
EstC1990.dvi

[ Baccalauréat C groupe 3 1 1990 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Soit θ un nombre réel tel que 06 θ < π

2 .

1. Résoudre dans C l’équation :

z2 cos2θ−2z sinθcosθ+1= 0.

Déterminer lemodule et un argument des solutions éventuelles de cette équa- tion.

2. Résoudre l’équation différentielle :

(1+cos2θ)y ′′− (2sin2θ)y ′+2y = 0.

EXERCICE 2 5 POINTS

Soient Γ le cercle de centre 0 et de rayon R, [AA′] un diamètre fixé de Γ, P le milieu de [OA′]. Une droite distincte de la droite (AA′) et de la perpendiculaire en P à (AA′) pivote autour de P et coupe Γ en B etC .

1. Déterminer l’ensemble E1 des milieux M de [BC ] lorsque ∆ varie.

2. a. Soit H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC .

La droite (AM) coupe (AH) en D.

Déterminer l’ensemble E2 des points D lorsque M décrit E1.

b. Montrer que ABDC est un parallélogramme.

En déduire que D est l’orthocentre du triangle ABC .

3. La droite (AM) coupe (OD) en I . Montrer que 2 −−→ OI +

−−→ ID =

−→ 0 .

Que représente I pour le triangle ABC ?

Déterminer l’ensemble E3 des points I lorsque M décrit E1.

PROBLÈME 10 POINTS

I.

1. Soit g l’application définie sur R+ par

g (x)= 2x2

x2+1 − ln

(

x2+1 )

.

Étudier les variations de g , déterminer sa limite en +∞.

En déduire que l’équation g (x)= 0 admet une solution unique α dans l’inter-

valle [1 ; +∞[. Prouver que 7

4 <α< 2.

2. On note Γ la courbe représentative de g . (On ne demande pas la construction de Γ.)

1. Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims

Le baccalauréat de 1990 A. P. M. E. P.

a. Écrire une équation de la tangente T à Γ au point d’abscisse 2 ; détermi- ner la valeur exacte de l’abscisse x0 du point d’intersection de T et de x′Ox.

On note v1 et v2 respectivement les valeurs approchées par défaut et ex- cès de x0 à 10−3 près.

Des signes de g (v1) et g (v2) déduire un encadrement de α à 10−3 près.

Préciser le signe de g (x) sur R+.

II. Le plan est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

, unité 2 cm.

Soit f l’application définie sur R par

f (0) = 0

f (x) = ln

(

x2+1 )

x si x 6= 0

On appelle C sa courbe représentative.

1. Montrer que f est dérivable en 0. Étudier les variations de f et sa limite en +∞.

2. Montrer que pour tout réel x >−1, on a ln(x+1)6 x.

En déduire la position relative de C et de sa tangente en 0.

Tracer la courbe C .

III. On note F la fonction définie sur R par

F (x)= ∫x

0 f (t)dt .

On ne cherchera pas à calculer cette intégrale.

1. Soit r un réel strictement positif fixé. Montrer que F (r ) et F (−r ) sont les aires de domaines isométriques du plan.

En déduire la parité de F .

Déterminer les variations de F sur R+.

2. a. Montrer que 06 F (1)6 1

2 en utilisant la position de C par rapport à sa

tangente en O.

b. Montrer que pour tout réel t supérieur ou égal à 1,

ln (

t2 )

t 6

ln (

t2+1 )

t 6

ln (

2t2 )

t .

c. Soit x un réel, x> 1, calculer ∫x

1

ln t

t dt .

En déduire les limites de F (x) et de F (x)

x lorsque x tend vers +∞.

3. Donner l’allure de la courbe représentative de F en prenant 0,4 pour valeur approchée de F (1).

2

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome