La fonction continue - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématique sur la fonction continue. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les nombres entiers naturels, l’image de la droite d’équation.
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[ Baccalauréat C Départements d’Outre-Mer \ juin 1971

EXERCICE 1

On rappelle qu’une fonction continue sur [a ; b] ne peut prendre deux valeurs dis- tinctes A et B sans prendre toutes les valeurs intermédiaires.

1. Montrer qu’une fonction f , continue et strictement décroissante sur un inter- valle fermé [a ; b], définit une bijection de [a ; b] sur [ f (b) ; f (a)].

2. Appliquer ce résultat à la fonction x 7−→ ex

x pour montrer que l’équation

ex = 3x possède une racine, et une seule, comprise entre 1

2 et 1.

Valeurs approchées : e ≈ 2,718, e 1 2 ≈ 1,648.

EXERCICE 2

1. Quels sont les nombres entiers naturels dont le carré divise 468 ?

2. Résoudre, dans l’ensemble des entiers naturels, l’équation x2(2x+1)= 468.

3. Existe-t-il un nombre b tel que le nombre qui s’écrit 941 dans le système déci- mal s’écrive 4205 dans la numération de base b ?

PROBLÈME

Le plan complexe (P) est rapporté au repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

noté R.

On considère la transformation ponctuelle, T , qui à tout pointm du plan fait corres- pondre le point M tel que les affixes z et Z dem et M vérifient la relation Z = z2− z.

Partie A

1. Quels sont les points doubles de T ?

2. Quels sont les points ayant pour correspondant

a. le point A d’affixe 2,

b. le point B d’affixe −1+ i ?

3. La transformation T est-elle

a. injective,

b. surjective ?

4. Étudier la disposition de deux points m1 et m2 ayant par T le même corres- pondant.

Quels sont les points de (P) qui ont un correspondant unique par T ?

Partie B

1. Calculer les coordonnées X et Y de M en fonction des coordonnées x et y de m.

2. Quelle est l’image de la droite d’équation y = 0 ?

3. Quelle est l’image réciproque de la droite d’équation y = 0 ?

4. Quelle est l’image de la droite d’équation x = 0 ?

Représenter cette image.

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

5. Quelle est l’image de la droite d’équation y = x ?

Représenter cette image.

6. Quelle est l’image de la droite d’équation y = x−1 ?

Ce résultat pouvait-il se déduire sans autre calcul de certains résultats précé- dents ?

Partie C

On se propose de rechercher l’image (γ) de la droite d’équation y = 2x.

1. Exprimer X et Y , coordonnées d’un point M de (γ), en fonction de l’abscisse x du pointm correspondant.

2. On donne les vecteurs

−→

u = 4 −→

ı +3 −→

et −→

v =−3 −→

ı +4 −→

.

On désigne par R′ le repère (

O, −→

u , −→

v )

.

a. R′ est-il orthonormé ?

b. X et Y étant les coordonnées de M dans R, X ′ et Y ′ celles de ce même point dans R′, déterminer X et Y en fonction de X ′ et de Y ′.

En déduire que, pour tout point de (γ), on a

{

4X ′−3Y ′ = −3x2− x, 3X ′+4Y ′ = 4x2−2x.

3. Déterminer l’équation cartésienne de (γ) dans R′. En déduire sa nature, son axe de symétrie et son sommet.

Représenter graphiquement (γ) dans le repère R.

Départements d’Outre-Mer 2 juin 1971

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