La fonction logarithme népérien - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématique sur la fonction logarithme népérien.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:le plan un triangle équilatéral ABC,la réciproque.
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[ Baccalauréat C Aix-en-Provence juin 1971 \

EXERCICE 1

Rappeler sans démonstration la limite de Log x

x quand x tend vers+∞ (Log désigne

la fonction logarithme népérien).

En déduire les limites quand x tend vers +∞ de xnLog x et de x

n

ex (n désignant un

entier positif fixé.

EXERCICE 2

Soit dans le plan un triangle équilatéral ABC. La bissectrice intérieure de  recoupe le cercle circonscrit en D. On suppose que( −−→ AB ,

−−→ AC

) =+

π

3 ·

Réduire à une transformation simple le produit

SBD ◦SDC ◦SCA ◦SAB.

(SXY désigne la symétrie d’axe XY.)

PROBLÈME

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. (P) désigne le plan privé de l’origine, O, de ce repère. (E) désigne l’ensemble des triplets (A, B, C) de trois points de (P) dont les affixes a, b et c dans ce repère vérifient la relation ac = b2.

1. B sera dans cette question un point fixe de (P), d’affixe b.

Montrer qu’à tout point M de (P) peut être associé un, et un seul, point, M ′, tel que (M ,B,M ′) ∈ (E), ce qui définit une transformation T dans (P).

T est-elle involutive ? Quel est l’ensemble de ses points doubles ?

Calculer le module et l’argument de l’affixe, m′, de M ′ en fonction de ceux de l’affixe m de M .

En déduire que T est le produit commutatif d’une symétrie d’axe OB et d’une inversion, que l’on précisera.

2. (F) désigne l’ensemble des triplets (A, B, C) de (E) qui vérifient de plus la rela- tion a +b +c = 0.

a. Si (A, B, C) ∈ (F), montrer que (B, C, A) ∈ (F) et que (C, A, B) ∈ (F).

Que dire, réciproquement, si (A, B, C) ∈ (E) et (B, C, A) ∈ (E) ?

b. Si (A, B, C) ∈ (F), montrer que a,b et c sont les trois racines d’une équa- tion de la forme

z 3 −k = 0 (k complexe).

Étudier la réciproque.

3. A1 et A2 étant deux points donnés dans (P), montrer que l’on peut déterminer une suite de points An (n entier naturel) telle que l’on ait

(A1, A2, A3) ∈ (E ), (A2, A3, A4) ∈ (E ), . . . , (An , An+1, An+2) ∈ (E )

Comment A1 et A2 doivent-ils être choisis pour que les An soient tous dis- tincts ?

N. B. - Les trois questions sont indépendantes.

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