La fonction numérique - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématique sur la fonction numérique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les variations de la fonction f, le repère orthonormé, le transformé du cercle.
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[ Baccalauréat C Lille juin 1971 \

Le candidat doit traiter les DEUX EXERCICES et le PROBLÈME

EXERCICE 1 4 POINTS

On considère la fonction numériqùe f d’une variable réelle définie par

f (x)= x

p x2−1

.

1. Étudier les variations de la fonction f et construire sa représentation graphique

dans un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

, l’unité de longueur étant prise égale à

2 centimètres.

2. Calculer l’aire dudomaine limité par l’axe des abscisses, la courbe et les droites d’équations x =λ et x =λ+1(λ> 1).

Cette aire admet-elle une limite lorsque λ tend vers plus l’infini ?

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit un triangle ABC de côtés AB = 4a, AC = 5a, BC = 7a (a longueur donnée).

1. M étant un point quelconque de l’espace, donner une expression plus simple

du vecteur −→ v1 = 7

−−→ MA +5

−−→ MB +4

−−→ MC , en utilisant la notion de barycentre.

2. Que peut-on dire du vecteur 2 −−→ MA −

−−→ MB −

−−→ MC quand le point M varie ?

Soit −→ v2 ce vecteur.

3. Déterminer l’ensemble des points M de l’espace tels que les vecteurs −→ v1 et

−→ v1

aient le même module.

PROBLÈME 12 POINTS

1. Dansun repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

, d’axes −−→ Ox ,

−−→ Oy on considère les cercles

(C1) et (C2) d’équations respectives

(C1) x2+ y2−2x +2y

p 3

3 = 0

(C2) x2+ y2−2x −2y p 3

Préciser leurs centres et leurs rayons.

Quel est l’ensemble des centres des similitudes directes transformant (C1) en (C2) ?

2. À tout point M de coordonnées x, y par rapport au repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

, est as-

socié son affixe z = x + iy .

Soit M un point du cercle (C1), z son affixe.

On considère la similitude directe (SO) de centre O, de rapport p 3 et d’angle

π

2 .

Quel est le transformé du cercle (C1) dans cette similitude ?

On désigne par z ′ l’affixe de M ′ homologue de M dans cette similitude. Expri- mer z ′ en fonction de z.

A étant le point (autre que O) commun aux cercles (C1) et (C2), montrer que les points M ,M ′ et A sont alignés.

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

3. Calculer en fonction de z l’affixe ω du point Ω du plan, tel que le triangle

M M soit rectangle isocèle et tel que (−−−→ ΩM ,

−−−→ ΩM

)

=− π

2 .

Quel est l’ensemble (Γ) des pointsΩ quand M décrit le cercle (C1) ?

Calculer les coordonnées deΩ en fonction de celles deM et trouver l’équation de (Γ).

4. M étant supposé fixe sur (C1), Ω désignant le point qui lui a été associé dans

3., soit (R) la rotation de centreΩ et d’angle π

2 .

Soit P un point quelconque du plan, P ′ son transformé par (SO), P ′′ le trans- formé de P ′ par (R).

p, p ′, p ′′ désignent les affixes des points P, P ′ et P ′′. Exprimer p ′ en fonction de p ; p ′′ en fonction de p ′ et ω, enfin p ′′− z en fonction de p z.

En déduire que la composée (R) ◦ (SO) de (SO) par R est une homothétie de centre M . Retrouver géométriquement ce résultat.

Lyon 2 juin 1971

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