La loi de composition interne - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématique sur la loi de composition interne sur l’ensemble G. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'application bijective, la fonction réelle de variable réelle, le repère orthonormé.
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[ Baccalauréat C Cameroun \ juin 1971

EXERCICE 1

Soit (G,T) un groupe, T désignant la loi de composition interne sur l’ensemble G. Soit a un élément quelconque deG ; on considère l’application deG dansG

fa : x 7−→ aTx.

1. Montrer que fa est une application bijective.

2. Soit F l’ensemble de toutes les applications fa , où a parcourt G. On munit F de la loi de composition des applications, notée ◦.

On considère l’application ϕ : a 7−→ fa de G dans F . Montrer que ϕ est un isomorphisme de (G, T) dans (F, ◦).

EXERCICE 2

1. Étudier la fonction réelle de variable réelle, f , définie par

f (x)= Log (x+1)

(x+1)2 .

Construire la courbe représentative (Γ) de f .

2. Chercher la dérivée de la fonction F réelle de variable réelle, définie par

F (x)=− Log (x+1)

x+1 −

1

x+1 .

En déduire l’aire limitée par (Γ), l’axe des abscisses, les droites d’équations respectives x = 0 et x = X (avec X > 0).

Cette aire a-t-elle une limite quand X tend vers plus l’infini ?

PROBLÈME

Dans le repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

, on considère les points F(c ; 0) et F′(−c ; 0),

c étant un nombre réel donné, non nul. On considère le point M tel que

(

−→

ı , −−→

FM )

ϕ [2π] et (−→

ı ′ , −−−→

F′M )

ϕ′ [2π],

ϕ et ϕ′ étant deux nombres réels tels que ϕϕ′ ne soit pas un multiple entier de π.

1. On pose FM = r et F′M = r ′.

Exprimer les coordonnées x et y deM

a. en fonction de c,r et ϕ.

b. en fonction de c,r ′ et ϕ′.

c. En déduire que

x = c. sin

(

ϕ+ϕ′ )

sin (

ϕϕ′ ) et y = c.

sinϕsinϕ

sin (

ϕϕ′ )

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

2. On suppose 1 que, k étant un nombre réel positif, distinct de 1, on a r ′ = kr .

Quelle est l’équation cartésienne de la courbe (C1) à laquelle appartient alors le point M ? Reconnaître cette courbe. Interpréter géométriquement ce résul- tat.

3. Soit α un nombre réel donné, qui n’est pas un multiple entier de π

2 . On sup-

pose ϕϕ′ =α [2π].

Exprimer r r ′ sin (

ϕϕ′ )

et r r ′ cos (

ϕϕ′ )

en fonction de x,c et y .

Endéduire que le pointM appartient à un cercle (C2), dont ondonnera l’équa- tion.

4. On suppose maintenant que ϕ+ϕ′ ≡β [2π], β étant un nombre réel différent

de tout multiple entier de π

2 .

a. Exprimer r r ′ sin (

ϕ+ϕ′ )

et r r ′cos (

ϕ+ϕ′ )

en fonction de x,c et y .

En déduire l’équation cartésienne de la courbe (C3) à laquelle appartient alorsM .

b. On prend pour nouveau repère le repère (

O, −→

u , −→

v )

déduit du précédent

par une rotation R

(

O, β

2

)

.

En déduire l’équation de (C3) dans ce nouveau repère et reconnaître la courbe (C3). Préciser ses éléments.

Cameroun 2 juin 1971

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