La modélisation mathématique  – travaux pratiques 10, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

La modélisation mathématique – travaux pratiques 10, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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La modélisation mathématique – travaux pratiques 10 sur l’endomorphisme de E. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'endomorphisme orthogonal, ses éléments caractéristiques.
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[ Baccalauréat C Sport-études juin 1981 \

EXERCICE 1

1. E est un espace vectoriel euclidien de dimension 3 à une base orthonormée (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, ϕ est l’endomorphisme de E tel que

ϕ (

−→ ı )

=− 1

3

−→ ı +

2

3

−→

2

3

−→ k

ϕ (

−→ )

= 2

3

−→ ı

1

3

−→

2

3

−→ k

ϕ (−→ k )

=− 2

3

−→ ı

2

3

−→

1

3

−→ k .

a. Démontrer que ϕ est un endomorphisme orthogonal.

b. Donner la définition analytique de ϕ et déterminer sa nature et ses élé- ments caractéristiques.

2. E est un espace affine associé à E rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

On donne le point O′ de coordonnées (1 ; 1 ; −1). On désigne par f l’appli- cation affine de E dans E dont l’endomorphisme associé est ϕ et telle que f (O)=O′.

Déterminer la nature de f et ses éléments caractéristiques.

EXERCICE 2

n étant un entier relatif on considère les nombres A et B, A = 5n−11, B = 2n−6.

1. Trouver deux entiers relatifs α et β tels queαA+βB soit indépendant de n ; en déduire que tout nombre divisant A et B divise un nombre C indépendant de n et que tout nombre divisant A et C divise B .

Que peut-on en conclure pour le P.G.C.D. de A et B ?

2. Déterminer suivant les valeurs de n le P.G.C.D. de A et B .

Pour cela on pourra utiliser la classe d’équivalence de A dans Z/8Z.

PROBLÈME

On rappelle que l’ensemble C des nombres complexes est un espace vectoriel réel dont (1, i) est une base.

Partie A

Pour tout nombre réel a, on note fa l’application de C dans C définie par

fa(z)= (1+ ia)e az− iaeaz

(z désigne le nombre conjugué de z). Soit A l’ensemble des applications fa lorsque a décrit R.

1. Montrer que pour tout a, fa est une application linéaire et écrire sa matrice dans la base (1, i). En déduire que fa est bijective.

2. Montrer que pour tout couple (

a, a′ )

de réels fa fa′ = fa+a′ (◦ désigne la loi de composition des applications).

En déduire la structure de (A , ◦) et définir l’application réciproque de fa .

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

3. Pour tout nombre complexe z, on pose

z1 = fa (z) et ∀n ∈N ⋆, zn+1 = fa (zn)

Calculer zn en fonction de a, n, z.

Partie B

Le plan affine euclidien P est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. Pour tout réel a, soit Fa l’application de P dans P qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que z ′ = fa (z). Montrer que Fa est définie

analytiquement dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

par

{

x′ = ea(x−2ay) y ′ = ea y.

Quel est l’ensemble des points invariants par Fa ?

2. Montrer que pour tout couple (

a, a′ )

de réels Fa Fa′ = Fa+a′ .

Montrer que Fa est bijective. Définir F−1a , l’application réciproque de Fa .

3. Soit (C ) l’ensemble dont une équation dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

est

x2−4axy + (

8a2−1 )

y2+4ae−ax −8a2e−a y + (4a−1)e−2a = 0.

a. Vérifier que (C ) n’est pas vide.

b. Trouver une équation de l’image (C ′) de (C ) par Fa . Préciser la nature de (C ′) suivant les valeurs de a.

Partie C

Soit dans P la relation binaire R définie par

∀(M , M ′) ∈P 2, [MRM ′ ⇐⇒ ∃a ∈R tel queM ′ = F (M)

.

1. Montrer en utilisant les résultats B 2. que R est une relation d’équivalence.

2. Quel que soit α réel, on note ∆α la classe d’équivalence du point A de coor- données (α ; 0).

Montrer que, suivant les valeurs de α, ∆α est soit un point, soit une demi- droite que l’on précisera.

3. Quel que soit β réel on note Γβ la classe d’équivalence du point B de coordon- nées (0 ; β).

Pour β 6= 0 trouver une équation de Γβ dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

. Montrer que

quel que soit β, Γβ est globalement invariante par toute application Fa .

Partie D

β étant un paramètre réel strictement positif, on définit l’application de [0 ; +∞[ dans R par

{

(x) = −2xLog x

β si x > 0,

(0) = 0.

1. Étudier et représenter graphiquement dans un repère (

O, −→ ı ,

−→ )

, e dé-

signant le nombre réel dont le logarithme népérien est égal à 1.

2. En déduire la représentation Γe, classe d’équivalence du point B de coordon- nées (0 ; e), définie dans la question C 3.

Sport-études 2 juin 1981

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