La modélisation mathématique  – travaux pratiques 11, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

La modélisation mathématique – travaux pratiques 11, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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La modélisation mathématique – travaux pratiques 11 sur la fonction numérique d’une variable réelle. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer l’aire de D, Donner la loi de probabilité de X.
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[ Baccalauréat C Strasbourg juin 1981 \

EXERCICE 1

Soit f la fonction numérique d’une variable réelle définir sur

]

−∞ ; 1

3

]

par

f (x)= x+ 3p 1−3x .

On désigne par (C ) la courbe représentative de f dans un plan affine euclidien rap- porté à un repère orthonormé R.

1. Étudier les variations de f . Étudier l’existence et la valeur de lim x→−∞

f (x).

(on ne recherchera pas d’asymptote).

1 Préciser la demi-tangente à (C ) au point d’abscisse 1

3 . Tracer (C ).

2. Soit D le domaine limité par (C ) et les droites d’équations respectives

x = 0, x = 1

3 , y = x. Calculer l’aire de D.

EXERCICE 2

Un sac contient 9 jetons numérotés de 1 à 9 indiscernables au toucher.

1. On tire au hasard simultanément trois jetons du sac (on se place donc dans l’hypothèse d’équiprobabilité). On appelle X la variable aléatoire indiquant le nombre de numéros impairs figurant parmi les trois numéros d’un tirage.

a. Donner la loi de probabilité de X. Calculer son espérance mathématique et sa variance.

b. Quelle est la probabilité pour que la somme des 3 numéros d’un tirage soit paire ?

2. On répéte dix fois le tirage décrit au 1. en remettant les jetons dans le sac après chaque tirage. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement quatre fois une somme paire au cours de ces dix tirages successifs ?

PROBLÈME

Partie A

Soit E3 un espace vectoriel euclidien de base orthonormée B = (−→ ı ,

−→ ı ,

−→ k )

.

1. On considère les droites vectorielles ∆1, ∆2, ∆3 de bases respectives −→ ı

−→ ,

−→ ı

−→ k ,

−→ k

−→ ı .

a. Montrer que ∆1, ∆2, ∆3 sont contenues dans un même plan vectoriel π dont on donnera une équation cartésienne.

b. Soitπ1,π2,π3 les plans vectoriels orthogonaux respectivement à∆1 ,∆2,∆3.

Donner une équation cartésienne de chacun de ces plans.

2. Soit s1, s2, s3 les endomorphismes de E3 définis par

s1 :

x′ = y y ′ = z z ′ = z

s2 :

x′ = x y ′ = z z ′ = y

s3 :

x′ = z y ′ = y z ′ = x

où (x ; y ; z) sont les coordonnées d’un vecteur dans la base B et (

x′ ; y ′ ; z ′ )

celles de son image.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

a. Vérifier que s1, s2, s3 sont des isométries vectorielles et donner leurs élé- ments caractéristiques.

b. Montrer qu’en composant ces endomorphismes deux à deux on obtient l’une ou l’autre de deux rotations ϕ1 et ϕ2 de même axe ∆ orthogonal à π. (On posera ϕ1 = s2 ◦ s3).

3. Soit −→ I =

1 p 2

(−→ ı

−→

)

, −→ J =

1 p 6

(−→ ı +

−→ −2

−→ k )

.

a. Vérifier que (−→ I ,

−→ J )

est une base orthonormée de π.

b. Déterminer la matrice dans la base (−→ I ,

−→ J )

de la restriction de ϕ1 à π.

Donner la mesure de l’angle de cette restriction, le plan π étant orienté

par (−→ I ,

−→ J )

.

En déduire la mesure de l’angle de la restriction de la rotation ϕ2 à π.

4. Soit H = {

Id, s1, s2, s3, ϕ1, ϕ1 }

où Id est l’application identique de E3.

On munit H de la loi de composition des applications notée ◦. (H ,◦) est-il un groupe ?

5. Pour i = 1 ou 2 et n ∈N⋆, on pose

(

ϕi

)n =ϕi ϕi ◦ · · · ◦ϕi ︸ ︷︷ ︸

nfois

.

Déterminer (

ϕ1 )n et

(

ϕ2 )n .

Partie B

Soit E3 un espace affine euclidien associé à E3 et O un point de E3. On munit E3 du

repère R = (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

On appelle d la distance euclidienne de E3 et t−→u la translation de vecteur −→ u

−→ u =

α

(−→ ı +

−→ +

−→ k )

, α ∈R.

1. Soit a un réel strictement positif et A, B, C les points de coordonnées respec- tives dans le repère R : (a ; 0 ; 0), (0 ; a ; 0), (0 ; 0 ; a). On pose A′ = t−→

u (A),

B′ = t−→ u (B), C′ = t−→

u (C).

Quelle est la nature du triangle ABC? En déduire celle du triangle A′B′C′.

2. Soit P1, P2, P3 les trois plans définis par

P1 = {

M ∈ E3/d (

M , A′ )

= d (

M , B′ )}

P2 = {

M ∈ E3/d (

M , B′ )

= d (

M , C′ )}

P3 = {

M ∈ E3/d (

M , C′ )

= d (

M , A′ )}

Montrer qu’ils ne dépendent pas du choix de α. Donner une explication géo- métrique.

Déterminer l’ensemble D des points équidistants de A′, B′ et C.

3. Montrer qu’il existe un déplacement f unique tel que

f (A)=B′; f (B)=C′; f (C)=A′.

En donner les éléments caractéristiques.

Strasbourg 2 juin 1981

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