La modélisation mathématique  – travaux pratiques 12, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

La modélisation mathématique – travaux pratiques 12, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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La modélisation mathématique – travaux pratiques 12 sur la bijection de P. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les opérations: addition et multiplication, la forme bilinéaire symétrique.
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[ Baccalauréat C Toulouse juin 1981 \

EXERCICE 1

1. Calculer, pour p = 0, puis pour p entier strictement positif, le reste de la divi- sion de 10p par 6.

2. Un entier naturel x est écrit anan−1 · · ·a1a0 dans le système de numération de base dix.

Démontrer que 6 divise x si, et seulement si, 6 divise

4(an +an−1+·· ·+a1)+a0.

EXERCICE 2

P est le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

On appelle F l’application de P dans P qui, à tout point M d’affixe le nombre com- plexe z, associe le point F (M) d’affixe

z2+2z+ 1

2 .

medskip

1. L’application F est-elle une bijection de P dans P ?

2. Déterminer les points de P invariants par F .

3. Soit D la droite d’équation x =− 1

2 dans le repère

(

O, −→ u ,

−→ v

)

.M étant un point

de D, calculer les coordonnées de F (M) en fonction de l’ordonnée deM .

Écrire une équation cartésienne de l’image de D par F .

Reconnaître la courbe obtenue et la tracer.

PROBLÈME

On rappelle que l’ensemble F des applications de R dans R muni des opérations addition et multiplication par un réel est un espace vectoriel sur R.

Partie A

Soit f1 et f2 les éléments de F définis par

f(x)= ex cos π

2 x et f2(x)= e

x sin π

2 x.

Soit E l’ensemble des applications f telles que f = a f1+b f2 (a, b) étant un élément quelconque de R2.

1. Démontrer que E est un sous-espace vectoriel deF et queB = (

f1, f2 )

est une base de E.

2. a. Démontrer que tout élément de E est dérivable sur R et que son applica- tion dérivée est élément de E.

b. Soit d l’application de E dans E qui à tout élément de E associe son ap- plication dérivée. Démontrer que d est un endomorphisme de E. Écrire sa matrice dans la base B.

c. Vérifier que d est une bijection de E sur E. Écrire, dans la base B, la ma- trice de la bijection réciproque d−1. En déduire une primitive sur R d’un élément quelconque de E.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

Partie B

1. Soit ϕ l’application de E × E dans R définie par

∀( f , g ) ∈E×E,ϕ( f , g )= ∫2

0 e−2x f (x)g (x)dx.

a. Montrer que ϕ est une forme bilinéaire symétrique.

b. Calculer ϕ (

f1, f1 )

; ϕ (

f2, f2 )

; ϕ (

f1, f2 )

.

c. Écrireϕ( f , g ) en fonction des coordonnées de f et g dans la base B.

d. En déduire que ϕ est un produit scalaire dans E et que B est, pour ce produit scalaire, une base orthonormée.

2. Emuni de ce produit scalaire est un espace vectoriel euclidien que l’on oriente par la base orthonormée directe B.

Démontrer que d = h r = r h h est l’homothétie vectorielle de rapport √

1+ π 2

4 et r une rotation vectorielle. Montrer qu’une mesure en radians de

l’angle de r appartient à ]

π

2 ; 0[ On notera α cette mesure.

3. En déduire que, pour toute application f de coordonnées (a, b) dans la base B, quel que soit x de R

f ′(x)=

1+ π 2

4 ex

[

cos (

π

2 xα

)

+b sin (

π

2 xα

)]

.

Partie C

On se propose d’étudier l’élément f1 de E, c’est-à-dire l’application de R dans R dé- finie par

f1(x)= e x cos

π

2 x.

Soit C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

tel que ∥

−→ ı

∥= 4 ∥

−→

∥.

On appelle Γ et Γ′ les courbes qui, dans ce repère, ont respectivement pour équa- tions cartésiennes

y = ex et y =−ex .

1. a. Démontrer que, pour tout x de R, −ex 6 f1(x)6 ex .

b. Calculer les abscisses des points communs aux courbes Γ et C .

Démontrer qu’en chacun de ces points les courbes Γ et C ont la même tangente.

c. Faire la même étude pour les courbes Γ′ et C .

2. Calculer les abscisses des points d’intersection de la courbe C et de la droite

de repère (

O ; −→ ı

)

.

3. Utiliser le résultat obtenu dans B 3., pour écrire, quel que soit x de R,

f1(x)=

1+ π 2

4 ex cos

(

π

2 xα

)

.

Étudier f1 sur l’intervalle [−1 ; 3].

Tracer l’arc de la courbeC correspondant à cet intervalle. (On pourra prendre −1 comme valeur approchée de α).

Toulouse 2 juin 1981

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