La modélisation mathématique  – travaux pratiques 2, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

La modélisation mathématique – travaux pratiques 2, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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La modélisation mathématique – travaux pratiques 2 sur la fonction logarithme népérien. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étudier les variations de fm, Déterminer les entiers naturels.
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[ Baccalauréat C Paris juin 1981 \

EXERCICE 1

Pour chaque m réel strictement positif, on définit une application fm de R dans R qui à tout x associe

fm (x)= Log (

ex +me−x )

.

(Log désigne la fonction logarithme népérien.) On appelle Cm la courbe représentative de fm dans un plan affine euclidien muni

d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. a. Étudier les variations de fm .

b. Montrer queCm admet deux asymptotes dont l’une est indépendante de m.

c. Construire sur une même figureC1 et C 1 16 .

2. Dans quelle transformation simple C1 a-t-elle pour image Cm ?

3. Discuter et résoudre dans R l’équation fm (x)= 0.

EXERCICE 2

Déterminer les entiers naturels s’écrivant abca dans le système de numération dé- cimale, divisibles par 7 et congrus à 1 modulo 99.

PROBLÈME

N.B. Dans ce problème, les questions 2., 3. et 4. de la partie B peuvent être traitées indépendamment de A.

Dans un plan affine rapporté à un repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, on désigne par A et B les points

définis par −−→ OA =

−→ ı et

−−→ OB =

−→ .

Soit v un réel donné ; on construit une suite de points (An)n∈N de la façon suivante :

A0 est le barycentre de (O, 1+ v) et (A, −v) ;

A1 est le barycentre de (A0, 1+ v) et (O, −v) ;

An+2 est le barycentre de (An+1, 1+ v) et (An , −v), pour tout n ∈N.

Partie A

On désigne par xn l’abscisse de n .

1. Démontrer que pour tout n deN : xn+1 = vxn v .

2. On suppose, dans cette question, v = 1.

Exprimer xn en fonction de n et étudier la limite de la suite (xn)n∈N.

3. On suppose v 6= 1.

a. On pose pour tout n de N : Xn = xn +λ ; déterminer λ pour que la suite (Xn)n∈N soit géométrique.

b. Exprimer Xn puis xn en fonction de n et v .

c. Étudier la limite de la suite (xn )n∈N.

d. Étudier les suites (An)n∈N pour v = 0 et v =−1.

Partie B

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

1. Montrer qu’il existe une application affine unique fv du plan affine telle que

fv (O)= A0, fv (A)=O et fv (B)=B.

Si ϕv désigne l’endomorphisme associé à fv , donner la matrice de ϕv dans la

base (

−→ ı ,

−−−−−→ jmath

)

.

Si un point M du plan de coordonnées (x ; y) a pour image par fv , le point M

de coordonnées (x′ ; y ′), donner les expressions de x′ et y ′ en fonction de x, y et v.

2. Démontrer que, pour tout n ∈N, fv (An)= An+1.

3. Montrer que fv admet une droite de points invariants notéeDv . Discuter, sui- vant les valeurs de v , la position deDv .

4. Montrer que, quel que soit v , la droite (OA) est stable par fv (i. e. fv (OA) est inclus dans (OA)).

On désigne par gv l’application de (OA) dans (OA) définie par gv (M)= fv (M) pour tout pointM de la droite (OA). Discuter suivant les valeurs de v la nature de l’application gV .

5. On suppose v = 1. Donner une construction géométrique simple de l’image d’un point du plan par fv . (On pourra utiliser l’application gv pour v = 1 défi- nie précédemment.)

6. On suppose v 6= 1. Soitm la projection sur D suivant la direction de (OA) d’un point M quelconque du plan. Montrer qu’il existe un réel k tel que pour tout

point M , −−−−−−→ mfv (M) = k

−−−→ mM .

En déduire la nature de fv pour v = 0 et v =−1.

Paris 2 juin 1981

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