La modélisation mathématique  – travaux pratiques 3, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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La modélisation mathématique – travaux pratiques 3 sur les suites géométriques non constantes d’entiers. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Calculer le produit scalaire, Déterminer et construire l’ensemble...
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[ Baccalauréat C septembre 1981 Paris 1 \

EXERCICE 1

1. Déterminer les suites géométriques non constantes d’entiers strictement po- sitifs telles que la somme de leurs quatre premiers termes soit égale à 40.

2. Soit (un )n∈N la suite réelle définie par un = 3 n pour tout entier naturel n.

Quelle est la plus petite valeurn0 den telle que la somme i=n

i=0 ui soit supérieure

à 103 ?

3. Déterminer, pour tout n N , le nombre µn = P.G.C.D. (un +1, u2n +1), où un est le terme général de la suite définie au 2.

EXERCICE 2

Soit P un plan affine euclidien. Si M et N sont deux points de ce plan, on note MN leur distance.

1. Soit A, B, C trois points de P tels que

AB=AC= 5 et BC= 6.

Calculer le produit scalaire −−→

AB · −−→

AC .

2. On désigne par G le barycentre de (A, 2), (B, 3), (C, 3).

Construire le point G et calculer la distance GA.

3. On considère l’application f de P dans R qui à tout point M de P associe le réel

f (M)= 2 −−→

MB · −−→

MC + −−→

MC · −−→

MA + −−→

MA · −−→

MB .

Démontrer que l’on a pour tout point M de P :

f (M)= f (G)+4MG2.

Calculer numériquement f (A) et f (G).

4. Déterminer et construire l’ensemble E des points M tels que f (M)= f (A).

EXERCICE 3

Soit P unplan affIne euclidienorientémuni d’un repère orthonormédirect ( O,

−→

u , −→

v ) .

À tout nombre complexe z = x + iy, x et y désignant des réels, on associe son image m, de coordonnées (x ; y), dans P. Soit λ un complexe non nul. On désigne par :

ωλ et les images dans P des nombres λ et 2λ;

Pλ le plan P privé du point ωλ ;

Dλ la droite (Oλ) privée du point ωλ ;

λ la droite perpendiculaire à Dλ en ωλ privée deωλ ;

λ le cercle de centreωλ passant par O.

1. Créteil, Versailles

Terminale C A. P. M. E. P.

On se propose d’étudier la famille des applications ϕλ de Pλ dans P qui au point m image de z associent le point n image de u tel que

u = z2

2(z λ) .

Partie A

Soit f et g les fonctions de variable réelle qui à x associent respectivement

f (x)= x2

2(x −1) et g (x)=

x2−1

2x .

Étudier les variations des fonctions f et g et représenter graphiquement ces fonc- tions sur une même figure, dans un plan muni d’un repère orthonormé. Étudier les asymptotes des courbes représentatives.

Partie B

Dans toute cette partie on choisit λ= 1.

1. Déterminer les points invariants de ϕ1.

2. Déterminer ϕ1 (D1) et ϕ1 (∆1)

3. Soit m un point du cercleΩ. Montrer que ϕ1(m) se déduit simplement de m.

En déduire ϕ1 (Ω1). (On pourra repérer la position de m sur Ω par le réel θ,

détermination de la mesure de l’angle ( −→

u , −−−−→

ω1m1

) .)

4. Déterminer l’ensemble des points m de P1 dont l’image parϕ1 est un point de

la droite ( O,

−→

u ) .

5. Soit n un point de P non invariant par ϕ1 ; montrer que n a deux antécédents m et m′ par ϕ1, et que ces points vérifient les propriétés suivantes :

  

n est le milieu du segment [m,m′]∥∥∥−−−→ω1m ∥∥∥×

∥∥∥ −−−−→

ω1m

∥∥∥= 1 á(−→

u , −−−→

ω1m ) +

á(−→ u ,

−−−−→

ω1m

) = 0̂ (0̂ désigne l’angle nul).

Vérifier que ces propriétés restent valables lorsque m et m′ sont confondus en un point invariant de ϕ1. Retrouver une partie des résultats des questions 2. et 3.

Partie C

On suppose que λ est un complexe quelconque non nul. Soit la similitude plane directe du plan P qui admet O pour centre et qui trans- formeω1 en ωλ.

1. Démontrer ϕλ = ϕ1 ◦S −1 λ

.

2. Déterminer ϕλ (Ω.λ).

Paris - Créteil - Versailles 2 septembre 1981

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