La modélisation mathématique  – travaux pratiques 5, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

La modélisation mathématique – travaux pratiques 5, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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La modélisation mathématique – travaux pratiques 5 sur la base orthonormée. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer l’image et le noyau de x, Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équati...
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[ Baccalauréat C Polynésie française juin 1981 \

EXERCICE 1

L’espace vectoriel euclidien E3 étant muni d’une base orthonormée (−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, on

appelle ϕ l’application linéaire de E3 dans lui même définie par 

ϕ

(−→ ı )

= 2 −→ ı +

−→

−→ k

ϕ

(−→

)

= −→ ı +2

−→ +

−→ k

ϕ

(−→ k )

= − −→ ı +

−→ +2

−→ k

1. ϕ est-elle bijective ?

2. Déterminer l’image et le noyau de ϕ et vérifier qu’ils sont orthogonaux.

3. Montrer que la restriction de ϕ à lm ϕ est celle d’une homothétie vectorielle dont on indiquera le rapport (lm cp représente l’image de ϕ).

En déduire que ϕ est la composée d’une homothétie vectorielle et d’une pro- jection vectorielle. Montrer qu’il en est de même pour ϕ′, où ϕ′ est définie pour n deN⋆ par

ϕ 1 = ϕ

n ∈N⋆ : ϕn+1 = ϕn ϕ.

EXERCICE 2

Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation

z6+ (

1−2i p 2 )

z3−2i p 2= 0.

Représenter chacune des solutions dans le plan complexe (plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé direct).

PROBLÈME

On s’intéresse dans ce problème à l’ensemble des solutions de l’équation différen- tielle

(1) y ′−2y = 8x2−8x,

c’est-à-dire à l’ensemble S des fonctions f dérivables sur R et vérifiant

x ∈R, f ′(x)−2 f (x)= 8x2−8x.

Partie A

On rappelle que l’ensemble F ′ des fonctions dérivables sur R est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel F des applications de R vers R (muni de l’addition de ces applications et de leur multiplication par un scalaire).

1. a. S est-il un sous-espace vectoriel de F ′ ?

b. Montrer qu’il existe dans S une fonction polynôme du deuxième degré et une seule : préciser cet élément de S .

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

2. a. Vérifier que si f et g sont des éléments de S , alors leur différence f g est élément deSh , oùSh désigne l’ensemble des solutions de l’équation différentielle

(2) y ′−2y = 0,

c’est-à-dire l’ensemble Sh des fonctions h dérivables sur R et vérifiant

x ∈R, h′(x)−2h(x)= 0.

b. Prouver que Sh est un espace vectoriel sur R, dont la fonction h1 : x 7−→ e2x constitue une base. N.B. - On sera amené à poser h = u × h1 et montrer que h ∈ Sh si, et seulement si, u est une fonction constante.

3. En déduire que

S = {

f ∈F : (∃m ∈R tel que∀x ∈R, f (x)=me2x −4x2 }

.

Partie B

On considère dans le plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

la famille des courbes représentatives des fonctions

fm : x 7−→me2x −4x2(oùmest un paramètre réel).

1. Montrer que par tout point M du plan passe une courbe de la famille et une seule, et vérifier que pour une même abscisse x0 l’ordonnée fm (x0) du point de la courbe représentative de fm est une fonction croissante dem. On désignera par Cm la courbe représentative de la fonction fm (le paramètre réel m étant fixé), ou encore par C[M] la courbe de la famille passant par le point M .

2. a. Étudier les variations de la fonction

ϕ : x 7−→ 4xe−2x

et construire sa courbe représentative.

b. En déduire, selon la valeur du paramètrem, les variations de la fonction fm . (On sera amené à discuter le signe de (mϕ(x)).

3. a. Selon la valeur dem, la courbeCm possède au plus deux points où la tan-

gente est parallèle à l’axe (

O, −→ ı )

; montrer que lorsque m décrit R l’en-

semble des points ainsi obtenus est une parabole (P) dont on donnera une équation cartésienne et dont on indiquera le sommet S.

b. Montrer que la tangente àCm en sonpoint d’intersection avec l’axe (

O, −→

)

passe par le point I de coordonnées

(

− 1

2 ; 0

)

.

4. a. Tracer sur un même graphique et avec soin, en prenant 4 cm pour unité de longueur, – la parabole (P). – la courbe C0 (correspondant àm = 0), – la courbe C 2

e (dont on vérifiera qu’elle passe par le sommet S de (P)).

b. Déterminer l’aire de la partie duplan comprise entre la droiteDα d’équa- tion x = −α (où α est un réel positif donné), la courbe C0, la courbe C1. et l’arc (OS) de la parabole (P). Quelle est la limite de cette aire lorsque α tend vers +∞ ?

c. Construire encore sur ce graphique la courbe C[A] passant par le point A de coordonnées (1 ; 0).

Polynésie française 2 juin 1981

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