La modélisation mathématique  – travaux pratiques 6, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

La modélisation mathématique – travaux pratiques 6, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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La modélisation mathématique – travaux pratiques 6 sur la solution de l’équation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La suite numérique, L'espace vectoriel euclidien orienté, le logarithme népérien.
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[ Baccalauréat C Pondichéry mai 1981 \

EXERCICE 1

k étant un entier naturel quelconque, soit x et y les deux entiers tels que

x = 7k2+3k+1 y = 8k+3.

1. Vérifier que (x ; y) est solution de l’équation

64x− (56k+3)y = 55.

2. Quelles sont les valeurs possibles du P.G.C.D., d , de x et y ?

3. Montrer que d est égal à 55 si, et seulement si, 55 divise y .

En déduire les valeurs de k pour lesquelles d = 55.

EXERCICE 2

La suite numérique (n 7−→ un ) est définie sur N par la donnée de u0 = 0 et par la relation de récurrence

n ∈N, un+1 = 2un +3

un +4 .

1. Calculer u1 et u2.

Montrer que ∀n ∈N⋆, 0<un < 1 et que la suite est croissante.

2. On considère la suite (n 7−→ Vn) définie par son terme général

n ∈N, Vn = un −1

un +3

Montrer que la suite (n 7−→ Vn) est une suite géométrique convergente.

Calculer un en fonction de n.

En déduire que un converge et calculer sa limite.

PROBLÈME

Partie A

E est un espace vectoriel euclidien orienté, de base orthonormée directe (

−→ ı −→

)

, a

est un nombre réel arbitraire et ga désigne l’endomorphisme de E dont la matrice

dans la base (

−→ ı

−→

)

est

(

a 2a a+1 −a

)

1. a. Préciser les valeurs de a pour lesquelles ga n’est pas bijective.

b. Quel est alors l’endomorphisme composé ga ga ?

En déduire que l’espace image Im (

ga )

est inclus dans le noyau Ker (

ga )

. Montrer que ces sous-espaces sont confondus.

Préciser ce sous-espace pour chacune des valeurs de a trouvées au 1. a.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

c. Montrer que g0 est la composée g0 = r p d’une projection vectorielle orthogonale que l’on précisera et de la rotation vectorielle r dont l’angle

a pour mesure + π

2 .

2. a. Montrer que g1 est la composée d’une homothétie vectorielle h, de rap- port positif, et d’une symétrie vectorielle orthogonale s que l’on préci- sera.

b. Montrer que g1 est le seul automorphisme de E de la forme ga qui trans- forme toute base orthonormée en une base orthogonale.

Existe-t-il une isométrie vectorielle de la forme ga ?

3. a. Montrer que g−1est involutive. Est-ce une symétrie vectorielle orthogo- nale ?

b. Pour quelles valeurs de a, ga est-elle involutive ? Préciser les directions caractéristiques de chacune de ces involutions.

Partie B

La fonction numérique f est définie par

f (x)= Log (

e−x −e )

où Log désigne le logarithme népérien.

1. Préciser l’ensemble de définition D de f et les limites aux bornes.

2. Étudier les variations de f .

3. Soit (C) la courbe représentative de f dans un plan affine P rapporté à un re-

père orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, l’unité de longueur étant 2 cm.

Étudier les branches infinies de (C). Montrer que la droite d’équation y = −x est asymptote à la courbe (C).

Calculer l’abscisse du point A d’intersection de (C) avec l’axe des abscisses et donner une équation de la tangente (T) à (C) en A.

Tracer la courbe (C).

Partie C

On appelle ϕ l’application affine de P laissant l’origine O invariante et admettant g−1 comme application linéaire associée.

1. Calculer les coordonnées (

x′, y ′ )

du point N ′ image par ϕ du point N (x ; y). Quelle est la nature géométrique de ϕ ?

2. On appelle (T) l’image de (C) par ϕ.

Montrer que M(x ; y) appartient à (T) si, et seulement si,

(1) ey = ex+2y −e.

3. Trouver la fonction numérique h1 telle qu’une é́quation de (T) soit

(2) y = h1(x)

4. Trouver la fonction numérique h2 telle qu’une é́quation de (T) soit

(3) y = h2(x)

Quel est l’ensemble de définition de h2 ?

Étudier les limites

Pondichéry 2 mai 1981

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

1 = lim y→+∞

[

h2(y)+ y ]

2 = lim y→−∞

[

h2(y)+2y ]

En déduire que (T) admet deux asymptotes obliques dont on donnera des équations.

5. Construire la courbe (T) en utilisant les résultats obtenus en C 1. et C 4.

Pondichéry 3 mai 1981

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