La modélisation mathématique  – travaux pratiques 7, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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La modélisation mathématique – travaux pratiques 7 sur la base orthonormale B. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Préciser son axe, Résoudre dans Z×Z l’équation, Donner la solution générale, dans Z, du sys...
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[ Baccalauréat C Reims juin 1981 \

EXERCICE 1

Soit V un espace vectoriel euclidien rapporté à la base orthonormaleB = (−→ ı

−→ ,

−→ k )

et soit E un espace affine euclidien, associé à V , et rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

.

Soit f l’applicationdeE dansE qui à tout pointM(x ; y ; z) associe le pointM ′ (

x′ ; y ′ ; z ′ )

tel que

x = − p 2

2 y +

p 2

2 z

y ′ = p 2

2 x+

y

2 +

z

2 +1

z ′ = − p 2

2 x+

y

2 +

z

2 +1.

1. Montrer que f est un vissage. Préciser son axe.

2. Soit ϕ l’endomorphisme associé à f . Calculer (ϕϕ) (−→ ı )

.

Quel renseignement, relatif à l’angle de f , peut-on en déduire ?

3. Soit P le plan affine d’équation y + z−2= 0. Déterminer f (P).

EXERCICE 2

1. Résoudre dans Z×Z l’équation

6x−13y = 5.

2. En déduire la solution générale, dans Z, du système de congruences

{

x ≡ 2 modulo6 x ≡ 7 modulo13.

3. Donner la solution générale, dans Z, du système de congruence

x ≡ 2 modulo6 x ≡ 7 modulo13. x ≡ 1 modulo7.

PROBLÈME

On désigne par C l’espace vectoriel sur R des fonctions numériques de la variable réelle définies et continues sur R. À tout élément f de C on associe la fonction telle que

(x)= 1

2

x+1

x−1 f (t)dt ,

pour tout réel x.

Partie A

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

1. Montrer que, pour toute primitive F de f sur R, on a

(x)= 1

2 (F (x+1)−F (x−1)).

2. Calculer lorsque f est la fonction définie par f (t)= tn (n ∈N⋆). Montrer quepour toute fonctionpolynôme f surR est une fonctionpolynôme demême degré.

3. Calculer lorsque f est la fonction définie par f (t) = |I | (pour le calcul de (x), on étudiera séparément les cas x6−1, −1< x < 1, x > 1). Tracer dans un plan euclidien muni d’un repère orthonormé les courbes re- présentatives de f et de lorsque f (t)= |t |.

Partie B

1. Montrer que, pour toute f ∈ E , la fonction est continue et dérivable sur R, et que

(

)′ (x)=

1

2 [(x+1)− f (x−1)],

pour tout x ∈R. 2. En déduire que est une fonction croissante si, et seulement si, f est une

fonction périodique admettant le nombre réel 2 pour période.

Partie C

1. On suppose f croissance sur R. Montrer qu’il en est de même de . Montrer que, pour tout réel x, on a

f (x−1)6 (x)6 f (x+1).

En déduire que si lim −∞

f = +∞, alors lim +∞

= +∞, et que si lim −∞

f = 0, alors lim +∞

= 0

2. Soit f la fonction définie sur R par

f (t)= 4et

t2+4 .

où e désigne la base des logarithmes népériens.

Donner le tableau de variations de f . En déduire celui de .

Reims 2 juin 1981

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