La modélisation mathématique  – travaux pratiques 9, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

La modélisation mathématique – travaux pratiques 9, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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La modélisation mathématique – travaux pratiques 9 sur le nombre complexe z. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le polynôme f (z), faire la figure correspondante.
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[ Baccalauréat C Rouen juin 1981 \

EXERCICE 1

a et b étant deux entiers naturels non nuls, soit d leur P.G.C.D. etm leur P.P.C.M. Trouver tous les couples (a, b) vérifiant le système

m = d2

m+d = 156 a > b.

EXERCICE 2

On pose, pour tout nombre complexe z,

f (z)= z4+4z3+6z2+ (6−2i)z+3−2i.

1. Montrer que le polynôme f (z) possède une, et une seule, racine réelle z0 que l’on déterminera.

En déduire une factorisation de f (z) sous la forme (zz0)Q(z) oùQ(z) est un polynôme complexe du 3e degré que l’on précisera.

2. Vérifier queQ(i)= 0 ; en déduire les solutions de l’équation

(z ∈C), f (z)= 0.

3. On note P un plan affine euclidien orienté muni d’un repère orthonormé di-

rect (

O, −→ u ,

−→ v )

.

z1,z2 et z3 désignant les solutions de l’équation :Q(z) = 0, on appelleM0 ,M1,M2 et M3 les points de P d’affixes respectives z0, z1, z2 et z3.

Montrer que (M1, M2, M3) est un triangle équilatéral dont le centre de gravité est M0 et faire la figure correspondante.

PROBLÈME

Partie A

Soit a une constante réelle. F est l’endomorphisme du plan vectoriel défini par sa

matrice dans la base (

−→ ı ,

−→ ı )

:

A =

(

a 1 −a2 a

)

1. Déterminer le noyau de F et l’image de F . Calculer A2.

Les deux premiers résultats laissaient-ils prévoir le troisième ?

2. I étant la matrice unité d’ordre 2, calculer pour tout n ∈ N : (aI+ A)n . La for- mule du binôme de Newton est-elle applicable ? Expliquer pourquoi.

Partie B

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

Rappel : on nomme suites réelles les applications de N dans R. Leur ensemble V , muni de l’addition des applications, et de lamultiplication d’une application par un réel, constitue un espace vectoriel sur R. a désignant un réel non nul, soitW l’ensemble des suites réelles u telles que

(1) ∀n ∈N, un+2 = 2aun+1−a 2un .

1. Vérifier que W est un espace vectoriel sur R, et que l’application ϕ donnant de u W l’image (u0, u1) est un isomorphisme de l’espace vectoriel W vers l’espace vectoriel R2. Définir une base B de W dans laquelle u a pour coor- données u0 et u1 dans cet ordre.

2. a. Évaluer un en fonction de n dans le cas où u0 = 0 et u1 = 1.

b. Trouver toutes les suites géométriques deW .

c. Montrer, sans les calculer, l’existence et l’unicité des réels α et β tels que

(2) ∀n W, ∀n ∈N, un =αa n +βnan−1.

d. Calculer α et β en fonction de u0 et u1.

3. À toute suite u élément deW , on associe la suite u′ = f (u) définie par

(3) ∀n ∈N, un =un+1.

Vérifier que u′ est élément deW et que f est un endomorphisme deW , dont on donnera la matriceM dans la base B définie au B 1.

4. Quelle est, dans la base canoniquedeR2 , lamatrice de l’application g donnant de (u0, u1) l’image (u1, u2) ?

Quelle est l’application qui donne de (u0, u1) l’image (un , un+1) ?

En utilisant A) 2., retrouver l’expression de un à partir de u0, u1 et n.

Partie C

Dans le plan affine P, soit un point fixe O et la suite de points M0, M1, . . . , Mn , . . . tels que

(4)∀n ∈N, −−−−−→ OMn+2 = 2a

−−−−−→ OMn+1 −a

2−−−−→OMn .

1. On suppose a 6= 1. SoitGn+1 le barycentre deMn+1 et deMn affectés respecti- vement des coefficients 1 et −a. Vérifier queGn+1 etGn+2 sont alignés avec O. Comment Gn se déduit-il simplement deGn−1 ?

2. Dans tout ce qui suit a = 1

2 ,M0 etM1 ont pour coordonnées respectives (2 ; 0)

et (1 ; 1) dans un repère d’origine O.

Placer sur un graphique (axes perpendiculaires, unité : 1 dm) les pointsM0 ,M1,G1 et résumer très sommairement la construction par laquelle chacun des points G2, M2 se déduit des précédents.

Calculer, en fonction de n, les coordonnées xn et yn deMn .

Les suites (xn ) et (

yn )

sont-elles convergentes ?

Mn a-t-il une position limite pour n infini ?

3. Soit dans le même plan P rapporté au repère précédent, la courbeC de repré- sentation paramétrique

{

x = 21−t

y = t ·21−t t décrit R.

Établir qu’il existe un point deC où la tangente est parallèle à la droite (OM0).

Montrer que son abscisse vaut 2

e ; quelle est son ordonnée ?

Placer la tangente à C enMo. Établir l’existence d’une tangente en 0 à C v fOl.

Rouen 2 juin 1981

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

4. Former une équation cartésienne de la courbe C .

5. Au moyen d’une intégration par parties, calculer une primitive de la fonction x 7−→ xLog x.

En déduire l’aire de E , partie du plan P délimitée par le segment OM0 et l’arc OM0 de C .

Rouen 3 juin 1981

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