La suite – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 19, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

La suite – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 19, Exercices de Géométrie Algorithmique

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La suite – travaux pratiques de géométrie algorithmique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: calculer l’intégrale, Déterminer lemodule.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Sportifs de haut-niveau \ septembre 1990

EXERCICE 1 points

On considère la suite (un )n∈N définie par

u0 = 0, u1 = 1 et un+1 = 7un +8un−1 pour toutn> 1.

1. Montrer que la suite (sn)n∈N définie par sn = un+1+un est une suite géomé- trique dont on précisera la raison.

En déduire sn en fonction de n.

2. On pose vn = (−1)nun et on considère la suite (tn)n∈N définie par

tn = vn+1− vn .

Exprimer tn en fonction de sn .

3. Exprimer vn , puis un , en fonction de n (on pourra calculer, de deux manières, la somme t0+·· ·+ tn−1).

Déterminer lim n→+∞

un

8n .

EXERCICE 2 points

n désigne un entier strictement positif fixé. On se propose de calculer l’intégrale

I =

π

0 |sin(nt)|dt .

Pour ceci on commence par étudier le signe de sin(nt) sur l’intervalle [0 ; π]

1. Soit un entier k > 0 et soit l’intervalle Jk = [

k π n ; (k+1)π

n

]

:

a. t désignant un élément de Jk , donner un encadrement du réel nt .

b. En déduire que sin(nt) garde un signe constant lorsque t décrit Jk .

Préciser ce signe lorsque k = 2(∈N), puis lorsque k = 2+1 (∈N).

c. Calculer ∫(k+1) πn

kπ n

|sin(nt)|dt .

2. Calculer l’intégrale I = ∫π 0 |sin(nt)|dt .

(On pourra utiliser 1. c. et la relation de Chasles sur les intégrales.)

PROBLÈME points

Le plan est rapporté à un repère direct R = (

O, −→ ı ,

−→ )

.

On note x et y les fonctions de R dans R définies par :

x(t)= et cos t et y(t)= et sin t .

Pour tout réel t , on noteM(t) le point de coordonnées (x(t) ; y(t)) et on note −−−→ v(t) le

vecteur de composantes (

x′(t) ; y ′(t) )

. L’objectif du problème est l’étude de quelques propriétés géométriques de la courbe Γ décrite par le point M(t).

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Étude de la tangente en un point

a. Étant donné un réel t , montrer queM(t) est différent de O, et calculer les

affixes Z (t) etW (t) des vecteurs −−−−−→ OM(t) et

−−−→ v(t) respectivement.

Montrer que le nombre complexeU = W (t)

Z (t) est indépendant de t .

Déterminer le module et un argument deU .

b. Étant donné un réel t , on note B(t) le point défini par −−−−−−−→ M(t)B(t) =

−−−→ v(t) .

c. Déduire de ce qui précède une mesure de l’angle

Montrer que la tangente en M(t) à Γ est l’image de la droite (OM(t)) par la rotation

de centreM(t) et d’angle π

4 .

2. Intersection deΓavec les cercles de centre O, et construction point par point

a. Pour tout réel t , calculer la norme du vecteur −−−−−→ OM(t) .

b. Étant donné un réel R > 0, montrer que Γ a un unique point d’intersec- tion avec le cercle CR de centre O et de rayon R et calculer, en fonction de R, les coordonnées de ce point d’intersection.

c. Calculer, avec deux décimales exactes, les coordonnées des points d’in- tersection de Γ avec les cercles CR lorsque R prend les quinze valeurs suivantes :

0,05 ; 0,2 ; 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3 ; 3,5 ; 4 ; 4,5 ; 5 ; 5,5 ; 6 ; 6,5.

Construire ces points sur une figure en prenant l’unité de longueur égale à 2 cm.

Sur cettemême figure, construire les tangentes à Γ en les cinq points cor- respondant à R = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5. Achever, sans justification, la construc- tion de Γ.

3. Similitudes directes de centre O qui conservent Γ

a. Soit s une similitude directe de centre O d’angle θ et de rapport λ.

On suppose que s(M(0)) appartient à Γ, et on écrit s(M(0))=M(t)(t ∈R).

Montrer que λ= et et eiθ = eiθ.

En déduire qu’il existe un entier relatif k tel que λ= eθ+2.

b. Étant donné un réel θ et un entier relatif k, on note , k la similitude directe de centre O, d’angle θ et de rapport eθ+2.

i. Donner l’écriture complexe de , k .

ii. Montrer que, pour tout réel t , il existe un réel t ′ qu’on précisera, tel que , k (M(t))=M(t

′).

iii. Quelle est l’image de Γ par , k ?

c. Déterminer toutes les similitudes directes de centre O qui conservent Γ.

d. Déterminer les rapports de toutes les homothéties de centreOqui conservent Γ.

Sportifs de haut-niveau 2 septembre 1990

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