La théorie de calcul exercices 1, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

La théorie de calcul exercices 1, Exercices de Théorie de calcul

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La théorie de calcul exercices 1 sur la courbe d’équation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le point d’intersection N des droites (MQ) et (AB), Déterminer le lieu géométrique du centre de gravité G, Étudi...
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C La Réunion septembre 1987 \

EXERCICE 1 4 points

Construire dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe d’équation :

16(x+6)|x+6|+36y |y | = 576.

EXERCICE 2 4 points

Dans le plan, on donne un triangle équilatéral ABC. À chaque point M du segment [AC], on associe :

– le projeté P de M sur la droite (BC) parallèlement à la droite (AB), – le point Q vérifiant : BCQM est un parallélogramme, – le point d’intersection N des droites (MQ) et (AB), – et les points O, I, J et D, milieux respectifs de (B, C), (M, Q), (N, P) et (A, B).

1. Montrer qu’il existe un déplacement D que l’on déterminera tel que, pour tout élément M du segment [AC], on ait : D(M) = I.

Déterminer le lieu géométrique du point I lorsque M décrit le segment [AC].

2. Lorsque le point M décrit le segment [AC] :

a. Déterminer le lieu géométrique du centre de gravité G du triangle MCQ.

b. Déterminer le lieu géométrique du point J.

c. Montrer que la droite (IJ) passe par un point indépendant du choix deM sur le segment [AC].

PROBLÈME 12 points

On désigne par R = (

O, −→ ı ,

−→

)

un repère orthonormé du plan, et par a, b et c

des réels quelconques. Les fonctions f0, f1, f2 et f sont respectivement définies sur l’ensemble R des réels par :

f0(x)= e −

x 2 , f1(x)= xe

x 2 , f2(x)= x

2e− x 2

et

f (x)= (

a+bx+cx2 )

e− x 2 .

On désignera par :C0,C1 etC2 les courbes représentatives respectives de f0, f1et f2 dans le repère R.

A On se propose de représenter C0, C1 et C2.

1. Étudier les variations des fonctions f0, f1 et f2.

2. Préciser par leurs coordonnées dans le repère R, les points d’intersection de C1 et C0, C2 et C0, et C2 et C1.

3. Étudier sur l’ensemble R des réels, le signe de chacune des expressions :

f1(x)− f0(x), f2(x)− f0(x) et f2(x)− f1(x)

Terminale C A. P. M. E. P.

4. Tracer les courbesC0,C1 etC2 dans le repère R, et hachurer le domaine fermé E , déterminé par les trois courbes C0, C1 et C2, c’est-à-dire l’ensemble E des points M du plan, dont les coordonnées (x ; y) dans le repère R vérifient :

{

−1 6 x 6 0 f2(x) 6 y 6 f0(x)

ou

{

0 6 x 6 1 f1(x) 6 y 6 f0(x)

B On se propose de calculer l’aire de E

1. Soit n un entier naturel quelconque. Montrer qu’en posant :

In (x)= ∫x

0 tne−

t 2 dt ,

on définit une fonction In qui a l’ensemble R des réels pour ensemble de dé- finition.

2. Soit n un entier naturel, et x un réel quelconque. Montrer que

In+1(x)=−2x n+1e−

x 2 +2(n+1)In (x).

3. Soit x un réel quelconque. Calculer I0(x) en fonction de x. En déduire les ex- pressions de I1(x) et I2(x) en fonction de x.

4. Calculer l’aire de E .

C. On se propose de calculer la dérivée d’ordre n de f

Ondésigne par f (0) (ou f ), f (1) (ou f ′), f (2) (ou f ′′), f (3) ou f ′′′), etc., les dérivées successives de la fonction f .

1. Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel n, on peut trouver trois réels : αn , βn et γn vérifiant pour tout réel x :

fn (x)= (

αn +βnx+γnx 2)e−

x 2 .

On trouvera : α0 = a, β0 = b et γ0 = c ; et pour chaque entier naturel n, le raisonnement par récurrence, montrera que αn+1, βn+1 et γn+1 vérifient :

αn+1 =βn − 1

2 αn , βn+1 = 2γn

1

2 βn et γn+1 =−

1

2 γn .

2. Pour chaque entier naturel n, on pose

βn =βn +4nγn et α n =αn +2nβn +4n(n+1)γn .

Montrer que (

αn )

, (

γn )

et (

γn )

sont des suites géométriques de raison − 1

2 .

3. En déduire pour chaque entier naturel n, l’expression deαn ,βn et γn en fonc- tion de n, a, b et c.

La Réunion 2 septembre 1987

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