La théorie de calcul exercices 3, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

La théorie de calcul exercices 3, Exercices de Théorie de calcul

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La théorie de calcul exercices 3 sur les conditions. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la probabilité, la mesure des angles.
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[ Baccalauréat C Lille juin 1987 \

EXERCICE 1 5 POINTS

1. Trouver la fonction f deux fois dérivable sur R, solution de l’équation diffé- rentielle :

y ′′−4y ′+3y = 0

et vérifiant les conditions f (0)= 4 et f ′(0)= 2.

2. a. Résoudre dans R l’équation X 3−5X −2= 0. (On cherchera une solution particulière dans Z.)

b. Résoudre dans l’équation f (x)=−2.

3. a. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1]. On précisera les valeurs d’annulation de f .

b. Dresser un tableau des valeurs numériques à 10−2 près par défaut, don- nées par la calculatrice, de f (x) pour les valeurs suivantes de x : 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,9 ; 1.

c. Dans le plan rapporté à un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

, avec ∥

−→ ı

∥ =

10 cmet ∥

−→

∥= 1 cm, tracer avec précision sur papiermillimétré la courbe

représentative de f sur l’intervalle [0 ; 1]. On tracera la tangente à la courbe au point d’abscisse 0.

EXERCICE 2 4 POINTS

1. Démontrer que pour tout réel x > 0 et tout entier n > 0 on a :

(1+ x)n > 1+nx.

2. On dispose de n boules numérotées de 1 à n. On les place toutes au hasard dans n boîtes (chaque boîtes pouvant contenir de 0 à n boules).

On désigne par Pn la probabilité que chaque boîte contienne exactement une boule.

Montrer que Pn = n!

nn .

3. En utilisant le 1, montrer que pour tout entier n > 0 on a :

Pn

Pn+1 > 2.

En déduire que Pn 6 1

2n−1 .

Quelle est la limite de Pn quand n tend vers +∞ ?

PROBLÈME 11 POINTS

Le plan orienté est muni du repère orthonormé direct (

O, −→ ı ,

−→

)

.

On nomme D la droite de repère (

O ; −→ ı

)

et ∆ la droite de repère (

O ; −→

)

.

Soit −→ u et

−→ v deux vecteurs non nuls tels qu’unemesure des angles

(−→ ı ,

−→ u

)

et (−→ ,

−→ v

)

soit + π

6 .

Le baccalauréat de 1987 A. P. M. E. P.

Par tout point M du plan on fait passer les droites DM et ∆M de vecteurs directeurs −→ u et

−→ v . DM coupe D enm et ∆M coupe ∆ en p.

On désigne par M′ le point dont les projections orthogonales sur D et ∆ sont respec- tivement m et p. Soit f l’application du plan dans lui-même qui à M associe M′.

A.

1. Construire l’image d’un point non situé sur D et ∆, puis celle d’un point de D distinct de O, puis celle d’un point de ∆ distinct de O.

2. Quelle est l’image du point O ?

3. M étant un point quelconque du plan, distinct de O, démontrer :

a. que les points O, m, p, M et M′ sont sur un même cercle ;

b. que le triangle OMM′ est rectangle en M et que :

(−−→ OM ,

−−−→ OM′

)

= π

3 (mod2π).

4. En déduire que f est une similitude directe que l’on précisera.

B. Le but de cette partie est de déterminer la nature de l’application f par une mé- thode différente de celle de la partie A Elle doit donc être résolue sans utiliser les résultats du A.

M étant un point quelconque duplan, on note (x ; y) ses coordonnées dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Déterminer les coordonnées des points m et p en fonction de x et y . En dé- duire que les coordonnées x′ et y ′ du point M′ sont :

{

x′ = xy p 3

y ′ = x p 3+ y.

2. Soit z = x + iy l’affixe du point M et z ′ = x′+ iy ′ celle du point M′. Démontrer que z ′ s’écrit αz, où α est un nombre complexe que l’on calculera.

En déduire que f est une similitude directe et donner sa forme réduite.

C. Pour cette partie on fera une figure distincte de celles des parties précédentes et on prendra 2 cm comme unité de longueur. On pourra se servir de l’expression analytique de f donnée au B.

1. Soit H l’hyperbole d’équation x2−3y2 = 3 dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Déterminer ses asymptotes, son foyer d’abscisse positive et la directrice asso- ciée.

Calculer son excentricité. Construire H.

2. Soit H ′ la courbe image de H par l’application f .

Prouver queH ′ est une hyperbole dont on précisera l’excentricité. Déterminer un foyer de H ′ et la directrice associée. Construire H ′. (On admettra que les asymptotes de H ′ sont les images par f des asymptotes de H).

Démontrer queH ′ est la représentation graphique de la fonction g définie par

g (x)=

p 3

3

(

x+ 6

x

)

.

3. Soit L la droite d’équation x = 2 et L′ son image par f .

Déterminer les points d’intersection de L′ et H ′. Calculer en cm2 l’aire de la partie du plan comprise entre la courbe H ′ et la droite L′.

Lille 2 juin 1987

Le baccalauréat de 1987 A. P. M. E. P.

4. Interpréter graphiquement l’intégrale Z2 ?3

∫2

p 3

x2

3 −1dx,

et en déduire sa valeur du résultat précédent.

Lille 3 juin 1987

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