La théorie de calcul exercices 4, Exercices de Théorie de calcul
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

La théorie de calcul exercices 4, Exercices de Théorie de calcul

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La théorie de calcul exercices 4 sur laméthode d’intégration par parties. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le point du cercle, le symétrique de P par rapport à A.
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MetropoleCseptembre1987.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Métropole septembre 1987 \

EXERCICE 1 4 points

1. Soit h la fonction définie par h(x)= x2e−x . On pose

K =

∫1

0 h(x)dx.

Montrer que K = 2− 5

e (on pourra utiliser la méthode d’intégration par parties

ou chercher une primitive H de h sous la forme

H(x)= (

ax2+bx+c )

e−x ,

a, b, c sont des réels à déterminer).

2. Soit f la fonction définie par f (x)= 1

1+ x2e−x . On pose I =

∫1

0 f (x)dx. (On ne

cherchera pas à calculer I .)

a. Montrer que pour tout x de l’intervalle [0 ; 1],

06 x2e−x 6 1.

Vérifier que pour tout u de l’intervalle [0 ; 1],

1−u 6 1

1+u 6 1−

u

2 .

b. En déduire que 1−K 6 I 6 1− K

2 ; donner un encadrement de I d’ampli-

tude égale à 0,1.

EXERCICE 2 4 points

Le plan est orienté. On considère un triangle ABC tel que l’angle (

−−→ AB ,

−−→ AC

)

est un

nombre compris entre 0 et π. On construit à l’extérieur de ce triangle trois carrés de côtés respectifs CA, AB et BC et on désigne par I, J et K leurs centres, conformément à la figure. On a

(

−→ IC ,

−→ IA

)

=

(

−→ JA ,

−→ JB

)

=

(

−−→ KB ,

−−→ KC

)

=− π

2 .

Terminale C A. P. M. E. P.

+

+

+ J

K

IA

B C

C′

On veut démontrer que les segments lB et JK sont orthogonaux et ont même lon- gueur. On considère la similitude directe S1 de centre C qui transforme I en A et la similitude directe S2 de centre B qui transforme A en J.

1. Donner les rapports et les angles de S1 et de S2. Quelle est la nature de la trans- formation S2 ◦S1 ?

2. Préciser les images de I et de B par S2 ◦S1.

3. Conclure.

PROBLÈME 12 points

Le problème propose trois approches différentes de l’étude d’un triangle particu- lier. Les trois parties du problème peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

A. Soit [AB] un diamètre du cercle (C ) de centre 0 et de rayon R (on prendra R = 2 cm pour la figure). On appelle (∆) lamédiatrice de [AB] etA la famille des triangles PQH définis ainsi :

P est un point du cercle (C ). Q est le symétrique de P par rapport à (∆). H est le projeté orthogonal de P sur (AB).

A B H

PQ

O

Soit PQH un triangle de la famille A .

1. Montrer que PQ = 2OH et que PQH est isocèle si, et seulement si, PH = 2OH.

En déduire que PQH est isocèle si, et seulement si, P est l’intersection de (C ) et de l’une ou l’autre de deux droites que l’on déterminera.

Métropole 2 septembre 1987

Terminale C A. P. M. E. P.

2. Faire une figure représentant les triangles isocèles de la famille A .

B. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axes (Ox) et

(Oy). (pour la figure demandée, on prendra l’unité égale à 2 cm). Soit (C ) le cercle de centre 0 et de rayon l’unité. À tout point A du cercle (C ) on associe le point A′, symétrique de A par rapport à

(Oy), et le point M, intersection de la parallèle à (Oy) passant par A et de la parallèle à la droite d’équation y =−x passant par A′.

On pose θ = (

−→ ı ,

−−→ OA

)

(

θ

[

π

2 ; 3π

2

[)

.

O

AA′

M

x

y

1. Montrer que les coordonnées x et y deM s’expriment par les formules :

{

x = cosθ y = sinθ−2cosθ.

2. Soit (Γ) la courbe paramétrée, ensemble des points M(θ) de coordonnées

{

x = cosθ y = sinθ−2cosθ.

θ variant dans l’intervalle

[

π

2 ; 3π

2

[

.

a. Montrer que les points M(θ) et M(θ+π) sont symétriques par rapport à

O. On appelle (Γ1) l’ensemble des pointsM(θ) lorsque θ décrit [

π

2 ; π

2

[

.

b. Étudier les variations de x(θ) et y(θ) pour θ élément de l’intervalle [

π

2 ; π

2

[

.

On pourra montrer que sur l’intervalle [

π

2 ; π

2

[

y ′(θ)= 2cosθ

(

1

2 + tanθ

)

et introduire l’unique réel α de [

π

2 ; π

2

[

vérifiant

tanα=− 1

2 .

c. Déterminer les coordonnées des points M (

π

2

)

et M

(

1

2

)

, et donner un

vecteur directeur de la tangente à (Γ) en chacun de ces points. En quel point la tangente à (Γ1) est-elle parallèle à (Oy) ? Donner des valeurs ap- prochées à 10−2 près des coordonnées deM(α).

Métropole 3 septembre 1987

Terminale C A. P. M. E. P.

d. Construire, sur unmêmedessin, le cercle (C ), la courbe (Γ1) puis la courbe (Γ) : placer en particulier les points introduits en c. ainsi que les tan- gentes à (Γ) en ces points.

3. Utiliser (Γ) et le cercle (C ) pour tracer sur la figure précédente, un triangle isocèle de la famille (d) définie en A.

C. Le plan est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axes (Ox) et (Oy).

(Pour les figures demandées, on prendra l’unité égale à 2 cm). Soit (C ) le cercle de centre O et de rayon l’unité. Soit N le point d’abscisse a de

l’axe (Ox) avec a élément de l’intervalle [−1 ; 1]. La parallèle à la droite d’équation (y = −x) passant par N coupe le cercle (C ) en deux points ; on note E celui de ces points dont l’abscisse est la plus petite. Soit E′ le symétrique de E par rapport à (Oy) et N′ le projeté orthogonal de E′ sur (Ox).

1. Montrer que l’abscisse de N′ est

a′ = 1

2

( √

2−a2−a )

.

2. Montrer qu’il existe un unique point vérifiant N = N′ ; calculer son abscisse r .

On note R ce point.

Établir que le triangle REE′ est rectangle et isocèle.

3. On considère la suite de points ainsi définie :

N0 est le point O et pour tout k entier positif ou nul, Nk+1 est le milieu de [

NkN ′ k

]

où N′ k est le point associé à Nk par le procédé exposé ci-dessus.

a. Faire une figure illustrant la construction de N1 et N2.

b. SoitUk l’abscisse de Nk (par construction de Nk ,Uk appartient à [0 ; 1]).

Soit g la fonction définie sur [0 ; 1] par

g (x)= 1

4

( √

2− x2− x )

.

Montrer que pour tout entier k positif ou nul, uk+1 = g (uk ) ; montrer que g (r )= r .

En utilisant l’inégalité des accroissements finis, montrer que, pour tout entier k positif ou nul,

|uk+1− r |6 1

4 |uk r | .

En déduire que la suite (uk ) converge vers r .

c. Démontrer que N3R6 10−2.

Métropole 4 septembre 1987

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