La théorie de calcul - exercices 6, Exercices de Théorie de calcul
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

La théorie de calcul - exercices 6, Exercices de Théorie de calcul

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La théorie de calcul - exercices 6 sur les fonctions. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étude de la fonction f, Déterminer la limite de f.
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[ Baccalauréat C Polynésie juin 1987 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

. Dans tout l’exercice,

t désigne un nombre réel tel que

0< t < π

2 .

1. Résoudre dans C l’équation suivante d’inconnue z :

z2−2(1+cos2t)z+2(1+cos2t)= 0.

Dans la suite de l’exercice, les solutions seront appelées z1 et z2, z1 désignant celle dont la partie imaginaire est strictement positive.

On note A le point d’affixe 1.

2. Étudier et représenter l’ensemble E1 décrit par le point M1 d’affixe z1 lorsque

t décrit l’intervalle [

π

6 ; π

6

]

.

En déduire l’ensemble E2 décrit par le point M2 d’affixe z2 quand t décrit le même intervalle et représenter E2.

3. a. Mettre z1 sous forme trigonométrique.

b. Soit M et M1 les points d’affixes z = 1+eit et z1.

Montrer que la droite (OM1) est parallèle à la droite (AM).

c. Comparer l’aire A(t) du triangle AM1M à celle du triangle AOM .

Étudier le maximum de l’aire A(t) lorsque t parcourt l’intervalle ]

0 ; π

2

[

.

EXERCICE 2 5 POINTS

Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC direct, c’est-à-dire tel que l’angle

orienté (

−−→ AB ,

−−→ AC

)

admet une mesure comprise entre 0 et π.

On construit les triangles équilatérauxA′BC, B′ACetC′BA tels que les angles orientés (−−→ A’C ,

−−→ A′B

)

, (−−→ B′A ,

−−→ B′C

)

et (−−→ C′B ,

−−→ C′A

)

admettent pour mesure π

3 . Soient F, G et H les

centres respectifs de ces triangles équilatéraux ; on se propose de prouver que le triangle FGH est équilatéral direct.

1. Placer sur une figure les points et les triangles précédents.

2. On note r1, r2 et r3 les rotations d’angle demesure 2π

3 et de centres respectifs

F, G et H.

a. Déterminer le déplacement r1 ◦ r2 ◦ r3 (on pourra préciser l’image de B).

b. En déduire le centre et l’angle de la rotation r = r2 ◦ r3.

c. En déduire aussi que les points F, G et H sont distincts deux à deux.

3. On note s la réflexion par rapport à la droite (GH).

Déterminer les axes des réflexions s2 et s3 telles que r2 = s2 ◦ s et r3 = s s3 ; montrer que ces axes se coupent en un point F′ tel que F′GH soit équilatéral direct.

4. Montrer enfin que F′ = F.

Le baccalauréat de 1987 A. P. M. E. P.

PROBLÈME 10 POINTS

Dans ce problème, on se propose d’étudier les fonctions définies sur ]0 ; +∞[ par

f (t)=

(

ln t

t

)2

et F (x)= ∫2x

x f (t)dt .

A. Étude de la fonction f

1. a. Étudier le signe de 1− ln t t ∈]0 ; +∞[.

b. En déduire le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[.

2. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.

3. Dresser le tableau de variation de f et construire sa courbe représentative

C dans un repère orthogonal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unités graphiques : ‖ −→ ı ‖ = 1 cm et

‖ −→ ‖= 20 cm).

B. - Étude de la fonction F

1. Étude au voisinage de +∞ :

a. Soit x unélément de [1 ; +∞[. Prouver quepour tout élément t de [x ; 2x],

ln2 x

t2 6 f (t)6

ln2 2x

t2 .

En déduire que

ln2 x

2x 6 F (x)6

ln2 2x

2x .

b. Déterminer la limite de F (x) lorsque x tend vers +∞.

2. Étude au voisinage de 0.

a. Soit x un élément de

]

0 ; 1

2

]

. Établir que

ln2 2x

2x 6 F (x)6

ln2 x

2x .

b. Déterminer la limite de F (x) lorsque x tend vers 0.

3. Calcul de F .

a. Calculer

u

1

ln t

t2 dt ,

puis

u

1

ln2 t

t2 dt ,

(On pourra intégrer par parties.)

b. En déduire que la fonctionG définie sur ]0 ; +∞[ par

(1) G(u)=− ln2u

u −2

lnu

u

2

u .

est une primitive de f sur ]0 ; +∞[.

Polynésie 2 juin 1987

Le baccalauréat de 1987 A. P. M. E. P.

c. Prouver finalement que

(2) F (x)=G(2x)−G(x).

4. Variations de F .

a. À l’aide de (2), calculer la dérivée de F .

b. Montrer que F ′(x)= 0 si et seulement si (ln2x)2 = 2(lnx)2.

c. Prouver que cette équation admet deux solutions x1 et x2 telles que

x1 < 1< x2. Donner une valeur approchée de x1 et x2 à la précision 10−6.

d. Étudier le signe de F ′.

5. Courbe représentative de F .

a. Dresser le tableau de variations de F . Utiliser (2) pour préciser les valeurs de F aux points 1, x1 et x2.

b. Construire la courbe représentative Γ de F . (On prendra les mêmes uni- tés graphiques que dans la partie A.)

Polynésie 3 juin 1987

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