La théorie de calcul - exercices 8, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 April 2014

La théorie de calcul - exercices 8, Exercices de Théorie de calcul

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La théorie de calcul - exercices 8 sur la suite. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Question préliminaire, exercices.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Besançon 1 juin 1987 \

EXERCICE 1 4 points

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

, on donne les

points A

(

− 1

2 ; 0 ; 0

)

, B

(

1

2 ; 0 ; 0

)

et F(0 ; 1 ; 0).

1. Soit M(x ; y ; z) un point de l’espace. Calculer les coordonnées du vecteur −−→ MA ∧

−−→ MB . Déterminer le point M0 tel que

−−−→ M0A ∧

−−−→ M0B =

−−−→ M0F

2. Déterminer l’ensemble des points M du plan (

O, −→ ,

−→ k

)

tels que

−−→ MA ∧

−−→ MB

∥=

−−→ MF

∥ .

En interprétant ∥

−−→ MA ∧

−−→ MB

∥ comme une aire,montrer que ces pointsM sont

à égale distance du point F et de la droite (AB). En déduire une solution géo- métrique.

3. Résoudre les mêmes questions qu’en 2. en remplaçant le plan (

O, −→ ,

−→ k

)

par

le plan (

O, −→ ı ,

−→

)

.

EXERCICE 2 4 points

On pose

I0 = ∫e

0 xdx.

et, pour tout n ∈N⋆, In = ∫e

1 x(lnx)n dx.

1. Calculer I0 et I1.

2. Pour n ∈N⋆, établir la relation 2In +nIn−1 = e2. Calculer I2.

3. Montrer que la suite de terme général In est décroissante.

En déduire, en utilisant la relation de récurrence du 2., l’encadrement

e2

n+3 6 In 6

e2

n+2 .

Calculer lim n→+∞

In et lim n→+∞

nIn .

PROBLÈME 12 points

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

on considère les

points A, B,M , N etQ d’affixes respectives 1, −1, z, z2, 1

z , où z est un nombre com-

plexe non nul. On rappelle que si M a pour affixe z, l’argument de z, noté arg z est

une mesure en radians de l’angle (

−−→ OA ,

−−−−→ OAM

)

.

1. Besançon, Dijon, Grtenoble, Lyon Nancy, Metz, Reims, Strasbourg

Terminale C A. P. M. E. P.

Question préliminaire : pour z 6= 0, calculer en fonction de z l’affixe de l’isobary- centre G des points : M , N etQ .

La partie A est l’étude de la fonction ainsi obtenue dans le champ réel ; l’objet de la partie B est la construction du lieu de l’isobarycentre G lorsque le point M décrit le

cercle trigonométrique.

Les parties A et B peuvent être résolues indépendamment l’une de l’autre.

Partie A

On considère les fonctions numériques d’une variable réelle définies par

x 7−→ f (x)= 1

3

(

x2+ x+ 1

x

)

et x 7−→ g (x)= 2x3+ x2−1.

1. Montrer que pour tout x 6= 0, les nombres f ′(x) et g (x) ont le même signe.

2. Étudier les variations de la fonction g surR. En déduire que l’équation g (x)= 0 admet dans R une solution unique α, avec 0 < α < 1. (On ne cherchera pas à calculer α.)

3. Dresser le tableau des variations de la fonction f . On désigne par (C ) la repré- sentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé (unité 3 cm), par I le point de (C ) d’abscisse −1 et par J le point de (C ) d’abscisse +1.

4. a. Vérifier que la droite (IJ) est la tangente en J à (C ).

b. Déterminer une équation de la tangente (T) en I à (C ).

5. Étudier la position de (C ) par rapport à (T).

6. Utiliser les résultats précédents pour construire la courbe (C ). (On prendra 2/3 comme valeur approchée de α.)

Partie B

Dans cette partie, on reprend les notations du début du problème avec z = eit et

t ∈ R. Les figures seront tracées dans le repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

en prenant

pour unité 9 cm.

1. Soit S le point d’affixe Z = z2+ z + 1

z . Montrer que les points B, M et S sont

alignés.

2. Calculer en fonction de t l’affixe de l’isobarycentre deM , N etQ . On en préci- sera la partie réelle et la partie imaginaire.

3. Dans le repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

, on considère le point Gt de coordon-

nées (x(t) ; y(t)) où

x(t)=−(cos2t +2cos t), y(t)=−sin2t .

Pour tout t réel, comparerGt+2π etGt , puisGt etGt .

4. Étudier les variations des fonctions t 7−→ x(t) et t 7−→ y(t) sur l’intervalle [0 ; π].

5. Tracer la courbe (Γ), ensemble des pointsGt pour t ∈ [0 ; π]. En particulier, on aura soin de préciser les points de contact des tangentes parallèles à l’un des axes de coordonnées. (On rappelle que l’unité est 9 cm.)

6. On considère le cercle centré à l’origine et de rayon 1

3 .

Pour t ∈ [0 ; π], soitM t le point d’intersection, autre que, de ce cercle et de la droite (GtGπ). Utiliser la question B 1. pour donner une mesure en radians

de l’angle (

−−−→ OG0 ,

−−−→ OM t

)

.

7. Compléter la courbe (Γ) pour obtenir le lieu géométrique de l’isobarycentre des points M , N etQ lorsque M décrit le cercle trigonométrique.

Besançon, Dijon, Grtenoble, Lyon Nancy, Metz, Reims, Strasbourg

2 juin 1987

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