Le corps des nombres réels - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématique sur le corps des nombres réels. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la base des logarithmes népériens, l’équation générale des cercles.
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[ Baccalauréat C Caen juin 1971 \

EXERCICE 1

Résoudre dans le corps des nombres réels l’équation

e2x−1− √

e2x+2−2e3 = 0,

où e est la base des logarithmes népériens et où x est l’inconnue.

EXERCICE 2

Résoudre dans le corps des nombres complexes l’ëquation

z6+ (1−2i)z3−2i= 0,

où i est la racine de −1 d’argument π

2 et où z est l’inconnue (on posera z3 = Z ).

PROBLÈME

On considère dans le plan rapporté à un repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

, d’axes x′Ox

et y ′Oy , le point A de coordonnées (+ 2 ; 0) et la droite (D) d’équation

xy = 0.

λ étant un paramètre réel, on désigne par () le cercle variable passant par O et A et dont le centre a pour ordonnée λ. Ce cercle recoupe y ′Oy enM et la droite (D) en M′. À chaque cercle () est associée la droite (∆λ) définie par les points M et M

′.

1. Former l’équation générale des cercles ().

On considère l’application, s, de R vers R+ (où R est l’ensemble des réels et R+ l’ensemble des réels positifs ou nuls) qui, à chaque valeur de λ, fait corres- pondre l’aire (arithmétique) s(λ) du triangle OMM′ (ces trois points pouvant être distincts ou confondus).

Calculer s(λ). Étudier et représenter graphiquement la fonction s. Pour quelles valeurs de λ l’aire s(λ) est-elle nulle ?

La fonction s est-elle continue pour ces valeurs ? Est-elle dérivable pour ces valeurs ?

Préciser les cercles () correspondants et les droites (∆λ) associées.

2. Quelle relation λ et λ′ doivent-ils vérifier pour que les cercles () et (′) soient orthogonaux ? Montrer que les droites associées (∆λ) et (∆λ′ ) sont per- pendiculaires.

3. Soit l’inversion de pôle A et de puissance 4.

Indiquer avec précision les transformées des droites y ′Oy et (D) dans cette inversion.

On appelle m et m′ les inverses de M et de M′. Montrer que O, m et m′ sont alignés. Écrire l’équation de la droite Omm′.

Calculer, en fonction de λ, les coordonnées dem et dem′. Montrer que le lieu

dumilieu, n, demm′ est le cercle (

C 1 2

)

.

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

4. Soit la courbe (P) d’équation

(x+ y)2−12x+4y +4 = 0.

Trouver l’équation de cette courbe dans le repère (

ω, −→

I , −→

J )

, d’axes X ωX et

Y ωY , défini de la manière suivante :

ω est le point de coordonnées (+ 1 ; + 1), −→

I = −−→

ωA et −→

J est le vecteur qui se

déduit de −→

I dans la rotation de centreω et d’angle + π

2 .

Pour cela, on établira les formules de changement de repère suivantes :

{

x = 1+X +Y , y = 1−X +Y .

Montrer que la courbe (P) est une parabole, dont on précisera le sommet et l’axe.

Montrer que pour tout λ la droite (∆λ) est tangente à (P) et que, réciproque- ment, toute tangente à (P) est une droite (∆λ). Calculer les coordonnées, dans le nouveau repère, du point de contact de (∆λ) avec (P).

Caen 2 juin 1971

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