Le logarithme népérien - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématique sur le logarithme népérien. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la courbe représentative de la fonction étudiée, la solution particulière de (E).
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[ Baccalauréat C Grenoble septembre 1971 \

EXERCICE 1

On considère la fonction f de la variable réelle x définie par

f (x)= Log x2−1

x .

La notation Log désigne le logarithme népérien.

1. Déterminer le domaine de définition de cette fonction.

2. Étudier les variations de cette fonction.

3. En remarquant que x2−1

x = x

(

1− 1

x2

)

chercher la limite de f (x)

x quand x

tend vers +∞.

Tracer la courbe représentative de la fonction étudiée.

EXERCICE 2

On considère l’équation différentielle (E), vérifiée par la fonction y de la variable réelle x, suivante :

(E ) y ′′+4y = 4x.

1. Montrer que y = x est une solution particulière de (E ).

2. On pose y = x+ z. Former l’équation différentielle (E1) à laquelle satisfait z.

Déterminer les solutions de (E1) et en déduire les solutions de (E ).

3. Déterminer la solution particulière de (E ) vérifiant simultanément

y(0)= 0 et y ′(0)= 3.

PROBLÈME

Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

d’axes x′Ox et y ′Oy . On

désigne par (Π) le plan (P) privé du point O, par A le point de coordonnées (2 ; 0). Soit T la transformation ponctuelle qui, au point M de (Π), fait correspondre le pointM

défini de la façon suivante : la similitude directe de centre O qui transforme M en A, transforme A en M ′.

Partie A

1. Montrer que OM ·OM ′ = 4 et que

(

−→ ı ,

−−−→ OM

)

+

(

−→ ı ,

−−−→

OM ′ )

= 0 (mod 2π).

En déduire que les affixes z deM et z ′ deM ′ sont liées par la relation zz ′ = 4.

2. Calculer les coordonnées (

x′ ; y ′ )

de M ′ en fonction des coordonnées (x ; y) deM .

3. Montrer queT est unebijection involutive de (Π) sur (Π). Déterminer les points doubles de T .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

4. Montrer que T est le produit commutatif de la symétrie par rapport à x′Ox et d’une inversion, que l’on déterminera.

Partie B

1. Déterminer l’ensemble des points M tels que le vecteur −−−−→

MM ′ soit colinéaire

à −→ ı , d’une part, et à

−→ , d’autre part.

2. Déterminer les points M , tels que le quadrilatère OMAM ′ soit un parallélo- gramme.

3. Soit R un point de coordonnées (0 ; λ), où λ est un nombre réel donné.

Déterminer l’ensemble des points M tels que M ,M ′ et R soient alignés.

Partie C

Soit (C ) un cercle passant parO ; ondésigne par (a ; b) les coordonnées de son centre ω, par (C ′) son transformé par T .

1. Quelle est la nature de (C ′) ? Écrire les équations de (C ) et de (C ′).

2. Déterminer les pointsM , tels que (C ) soit le cercle circonscrit au triangleOMM ′ .

Discuter en fonction de la position deω dans (P).

Partie D

On suppose qu’à la date t , les coordonnées de M sont données par les formules suivantes :

x = 4cos2 t

1+cos2 2t et y =

4sin2 t

1+cos2 2t .

Calculer les coordonnées deM ′ en fonction de t . Déterminer la trajectoire et la loi horaire du pointM ′. En déduire la trajectoire deM .

Grenoble 2 septembre 1971

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